第03讲 线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）（解析版）

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）考点考点考向一．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．三．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．四．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．五．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．六．作图—代数计算作图代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度．（1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图．（2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点．要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图．考点精讲考点精讲一．角平分线的性质（共5小题）1．（2021秋•温岭市期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PC＝PD＝2，根据三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，∴PC＝PD＝2，∵OE＝4，∴S△OPE＝OE•PC＝．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2021秋•北仑区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面积为9，∴△ADC的面积为9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．3．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的长．【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，设AC＝x，则AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的长为：6．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．4．（2021秋•新昌县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．80【分析】过P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出PE＝PA＝PD，求出PE＝PA＝PD＝AD＝4，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠CDP＝180°，∵AD⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，∴PA＝PE，PE＝PD，∴PA＝PD，∵AD＝8，∴PE＝PD＝AP＝4，∵BC＝10，∴△BCP的面积为＝＝20，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．5．（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）线段BC的长；（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．【分析】（1）分析题意易证得△ADE≌△ADC，则有CD＝DE，而BC＝BD+DC可求BC的长；（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中∵，∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）；（2）如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝×6a+×9a+×5a＝3a+a+a＝10a（cm）2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．二．线段垂直平分线的性质（共8小题）6．（2021秋•海曙区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）A．140° B．130° C．120° D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【解答】解：设∠BAC＝α，∴∠C+∠B＝180°﹣α，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，∴α＝110°，∴∠BAC＝110°，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．（2021秋•温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：由作图可知，CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，EA＝EB，∵△ABC与△ABE的周长之差为4，∴（CA+CB+AB）﹣（EA+EB+AB）＝4，∴2CA﹣2AE＝4，∴CA﹣AE＝2，∵AC＝5，∴AE＝3，故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．【分析】先利用三角形周长得到CE+BE＝5，再根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，然后利用等线段代换得到AB的长．【解答】解：∵△BCE的周长为8，∴CE+BE+BC＝8，又∵BC＝3，∴CE+BE＝5，又∵DE是AC的中垂线，∴EC＝EA，∴AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．【点评】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．（2021秋•义乌市期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求边BC的长；（2）求出∠BAC的度数．【分析】（1）根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，结合图形计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；（2）∵EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2021秋•柯桥区月考）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度数；（2）若△ABD的周长为30，AC＝18，求AB的长．【分析】（1）由BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，可得AD＝BD，又由等边对等角，可求得∠CBD的度数，然后又三角形外角的性质，求得∠ADB的度数，继而求得∠DBA的度数；（2）由△ABD的周长为30，可得AB+AC＝30，又由AC＝18，即可求得AB的长．【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝70°，∵△ABC中，∠A＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠BDA＝20°；（2）∵△ABD的周长为30，CD＝BD，∴AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝30，∵AC＝18，∴AB＝30﹣18＝12．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）A．65° B．60° C．70° D．80°【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB＝EA，FA＝FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EB＝EA，FA＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，∵△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝50°，∴∠BAE+∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．12．（2021秋•上城区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度数；（2）根据平行线的判定定理得到EF∥BC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF＝20°，∴∠FDC＝90°﹣20°＝70°；（2）∠AED＝2∠B，理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠AEF＝∠DEF，∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，∴∠AED＝2∠B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．13．（2021秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50° B．80° C．90° D．100°【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．【解答】解：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故选：B．【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三．作图—基本作图（共4小题）14．（2021秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．65°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝85°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝65°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝55°，故选：B．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．15．（2021秋•诸暨市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．① B．② C．①② D．无【分析】根据基本作图方法即可解决问题．【解答】解：根据作图过程可知：作法正确的是①．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．16．（2021秋•新昌县期末）如图，已知△ABC．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度数．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由角平分线的性质得出∠DBC，最后由三角形外角的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求．（2）∵∠A＝100°，∠C＝28°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝52°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝26°，∴∠BDA＝∠DBC+∠C＝54°．【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、三角形内角和定理、三角形外角的性质．17．（2021秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E．（1）用尺规作BD⊥AC，垂足为点D．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）所画的图中，若BE＝CD．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据HL证明Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），可得结论．【解答】（1）解：如图，线段BD即为所求；（2）证明：在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠EBC＝∠ACB，∴AB＝AC．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．四．作图—复杂作图（共5小题）18．（2021秋•临海市期末）如图，已知△ABC，点D在边AB上．（1）求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D．（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）∵DB＝DC，∴∠B＝∠DCB＝32°，∴∠ADC＝∠DBC+∠DCB＝32°+32°＝64°．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．19．（2021秋•缙云县期末）（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，；（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）【分析】（1），，据此作图；（2）可以使底为2，高为4或底为4，高为2，做钝角三角形．【解答】解：（1）如图所示的△ABC就是三边分别为3，2，的一个三角形；（2）如图所示的△ABC，△DEF都是符合题意的钝角三角形．【点评】此题主要根据勾股定理和三角形的面积求法作答．20．（2021秋•新昌县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．（1）则MN是BC的垂直平分线．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作法判断即可；（2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，故答案为：垂直平分．（2）∵MN垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝8+4＝12．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型、21．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：①作出△ABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交AB于点E．（2）连结CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，则∠DCE＝20°．【分析】（1）①作∠ACB的角平分线交AB于点D即可；②作BC的垂直平分线交AB于点E即可；（2）结合（1）根据三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图，①CD即为所求；②点E即为所求；（2）∵∠ABC＝60°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝ACB＝40°，∵BC的中垂线交AB于点E．∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝60°﹣40°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了作图﹣﹣基本作图，三角形的面积，熟悉基本作图方法是解题的关键．22．（2021秋•拱墅区期中）如图，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．（尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法）（2）在（1）的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线MN，EF，MN交BC于点P，EF交BC于点Q，连接AP，AQ即可．（2）证明△APQ的周长＝BC的长即可．【解答】解：（1）如图，图形即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴PA＝PB，∵EF垂直平分线段AC，∴QA＝AC，∴△PAQ的周长＝PA+PQ+QA＝PB+PQ+QC＝BC＝14．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．五．作图—应用与设计作图（共6小题）23．（2021秋•临海市期末）如图，在5×5的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请仅用直尺，按要求画图．（1）在图1中画出过点B的直线l，使其平分△ABC的面积；（2）在图2中画出线段BD，使其平分∠ABC，且点D在格点上．【分析】（1）过点B和线段AC的中点作直线l即可；（2）利用数形结合的思想作出线段BD即可．【解答】解：（1）如图1中，直线l即为所求；（2）如图2中，线段BD即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．24．（2021秋•椒江区期末）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，要求同时满足：（1）到两条公路OA，OB的距离相等．（2）到两村庄C，D的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，点P即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，属于中考常考题型．25．（2021秋•宁波期末）定义：如果三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积．（备注：要求尺规作图）【分析】根据题意分四种情况画图解答即可．【解答】解：①如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可知：BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD是“类直角三角形”，∵BD平分∠ABC，BC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，∴AE＝AB﹣BE＝4，在Rt△ADE中，AD＝AC﹣CD＝8﹣DE，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，∴（8﹣DE）2＝DE2+42，解得DE＝3，∴S△ABD＝AB•DE＝10×3＝15；∴这个“类直角三角形”的面积是15；②如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可知：AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B+2∠BAD＝90°，∴△ABD是“类直角三角形”，∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝AB﹣AE＝2，在Rt△BDE中，BD＝BC﹣CD＝6﹣DE，根据勾股定理，得BD2＝DE2+BE2，∴（6﹣DE）2＝DE2+22，解得DE＝，∴S△ABD＝AB•DE＝10×＝；∴这个“类直角三角形”的面积是．③作CF⊥AB，作∠ACF的平分线，在△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6．∴AB＝10，∴CF＝＝，∴AF＝＝＝，∴S△ACF＝AF•CF＝×＝，④作∠BCF的平分线，∴S△BCF＝24﹣＝．综上所述：这个“类直角三角形”的面积为15或或或．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形内角和定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是理解“类直角三角形”定义．26．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．【分析】利用数形结合的思想，根据题目要求作出图形即可．【解答】解：如图，线段EF即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．27．（2021春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长都是2，线段交点称做格点．（1）画出△ABC的高CD；（2）连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；（3）直接写出△ABC的面积是40．【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可．（2）作三角形的中线CE即可．（3）利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求作．（2）如图，线段CE即为所求作．（3）S△ABC＝•AB•CD＝×8×10＝40．故答案为：40．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．（2021春•鼓楼区校级月考）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出AC边上的高BH，再作出BC边上的高AK．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】取格点T，连接BT交AC于H，取格点E，连接CE交BT于点O，连接AO，延长AO交BC于K，线段BH，AK即为所求作．【解答】解：如图，线段BH，AK即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．六．作图—代数计算作图（共1小题）29．（2021秋•诸暨市期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度；（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形ABC的顶点C的个数．【分析】（1）由题意，AB为直角三角形的斜边，故AB＝＝．（2）此类题要求学生对问题分情况讨论，AB为腰，AB边为底两种情况．（3）AB边为腰，在左边有可以找出两点，右边也有4个．共6个．【解答】解：（1）由勾股定理，易知；（2）要使△ABC为等腰三角形，且另两边长度均为无理数，①若AB为底边，则顶点在线段AB的中垂线上，易知这种情况不成立．故AB边应为腰．②若AB为腰，经观察可知有C点满足条件，此时，BC的长度也为无理数，如下图所示：（3）6．【点评】要求学生对三角形的深刻认识，本题要求学生具有一定的发散性思维．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线就是的角平分线．这是因为连结，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．【详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠COD=∠COE，故选：D．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2021·浙江八年级期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．3．（2020·浙江八年级期末）内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据P到A、C两点的距离相等，可知P在AC的垂直平分线上，根据P到C和A到C的距离相等，可知A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上，由此判定即可.【详解】解：∵P到A、C两点的距离相等∴P在AC的垂直平分线上又∵P到C和A到C的距离相等∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上故选C.【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，解题的关键在于能够熟练掌握垂直平分线的定义.4．（2020·浙江八年级期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分的依据是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．【详解】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．5．（2020·浙江八年级期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且、下列确定P点的方法正确的是（）A．P为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点【答案】D【分析】首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．二、填空题6．（2019·浙江八年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．【答案】56．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，

∴∠EAF=∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°-34°=56°，

∴∠α=56°．

故答案为：56.7．（2019·浙江杭州·八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则两个三角形全等的依据是________（写出全等简写）．【答案】SSS【分析】1、以为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交、于点、；2、任意画一点’，画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；3、以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；4、过点画射线，就是与相等的角．则通过作图我们可以得到，，，从而可以利用判定其全等．【详解】解：，，，从而可以利用判定其全等．故答案为：．【点睛】本题考查学生对常用的作图方法及全等三角形的判定方法的掌握情况．由作法找已知条件，结合判定方法进行思考．8．（2018·浙江全国·）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_______．【答案】SSS【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．【详解】解：连接NC，MC，

在△ONC和△OMC中

，

∴△ONC≌△OMC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

故答案为SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．9．（2020·浙江高照实验学校八年级月考）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝_____度．【答案】120【分析】由作图可知AD是∠CAB的角平分线，利用角平分线的性质可以推知∠CAD＝30°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作图可知AD是∠CAB的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，∴∠ADB＝90°+30°＝120°，故答案为：120；【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．10．（2019·浙江杭州市·）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．【答案】SSS【解析】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD．以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP．在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故答案为SSS．点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三、解答题11．（2019·浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）66°【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；（2）直接利用角平分线的定义分析得出答案．【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求；（2）∵AB＝AC，∠ABC＝76°，∴∠C＝76°，∵∠ABC的平分线BD，∴∠DBC＝×76°＝38°，∴∠BDC＝180°﹣76°﹣38°＝66°．【点睛】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是解题关键．12．（2021·浙江八年级期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的电网必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．（保留作图痕迹，说明理由）【分析】作出AB的垂直平分线，它上面的点到A，B的距离相等，再作出∠MON或其邻补角∠QON的平分线，它上面的点到m，n的距离相等，即可得出它们的交点P就是所求的发射塔应修建的位置．【详解】解：如图，作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线，交点P1，P2即为所求发射塔应修建的位置．【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是运用垂直平分线和角平分线的作法来确定点P的位置．13．（2020·浙江）已知，用尺规作图：（1）作边上的中线；（2）画边上的高．【分析】（1）作AC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD即可；（2）延长AB，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点E即可．【详解】解：（1）如图所示，BD即为所作图形；（2）如图所示，CE即为所作图形．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的作法，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需熟练掌握．14．（2019·浙江宁波·八年级期中）某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉