招生全国统一考试临考冲刺卷（二）数学（文）

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B2．若复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A．数列的第4项 B．数列的第5项C．数列的前4项的和 D．数列的前5项的和【答案】B4．在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】C6．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为．甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（）A．甲对乙不对 B．乙对甲不对 C．甲乙都对 D．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A． B． C． D．【答案】D9．已知函数，下列说法中正确的个数为（）①在上是减函数；②在上的最小值是；③在上有两个零点．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C10．已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是（）A． B． C． D．【答案】C11．已知函数，，对任意的，，不等式恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A12．已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数，满足：，则的最大值为_______．【答案】14．设函数，则_______．【答案】15．抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，，则_______．【答案】16．设有四个数的数列，，，，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为_______．【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又为三角形内角，所以，于是，又为三角形内角，所以．（2）由余弦定理：得：，所以，所以．18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为，语文特别优秀的同学有人，数学成绩特别优秀的概率为，数学特别优秀的同学有人．①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为，，，单科特别优秀的3人分别为，，，从中随机抽取2人，共有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有，，这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：．②，，有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥中，，且底面，为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）当四面体的体积最大时，求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，设为的中点，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面，又，所以平面．（2），设，，则四面体的体积，当，即时体积最大，又平面，平面，所以，因为，所以平面，．20．（12分）已知动点满足：．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于，两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）．（2）当直线垂直于轴时，直线方程为，此时，，，不合题意；当直线不垂直于轴时，设存在点，直线的斜率为，，，由得：，则，故，此时，直线斜率为，的直线方程为，即，联立消去，整理得：，所以，，由题意，于是，，因为在椭圆内，，符合条件，综上所述，存在两点符合条件，坐标为．21．（12分）已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）设，若存在两个相异零点，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以，因为函数在处取得极大值，所以，即，所以，此时，经检验，在上单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，符合题意，所以．（2）由（1）知：函数，函数图像与轴交于两个不同的点，，，为函数的零点，令，在单调递减，在单调递增且，，，欲证：，即证：，即证，即证，构造函数，，，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，，则，即为曲线的普通方程．（2）将（为参数，）代入曲线，，，，