高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测24二次函数与幂函数

[课时跟踪检测][基础达标]1．函数y＝xeq\f(1,3)的图象是()解析：由幂函数y＝xα，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A、D；又其图象上凸，则排除C，故选B.答案：B2．函数y＝x2＋ax＋6在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))上是增函数，则a的取值范围为()A．(－∞，－5] B．(－∞，5]C．[－5，＋∞) D．[5，＋∞)解析：∵y＝x2＋ax＋6在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))上是增函数，由题意得－eq\f(a,2)≤eq\f(5,2).∴a≥－5，故选C.答案：C3．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，则f(x)＝＝eq\r(x)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．答案：D4．已知f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是()A．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)＜f(a)C．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜f(a)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)解析：因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又0＜a＜b＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，故选C.答案：C5．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解析：由A、C、D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－eq\f(b,2a)＞0，知A、C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－eq\f(b,2a)＜0，B错误，故选D.答案：D6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是()A．[0,4] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析：二次函数图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).答案：D7．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：由于函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，所以实数a应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(a－1,2a)≤－1))或a＝0.由此得0≤a≤eq\f(1,3).故选D.答案：D8．(2018届安徽皖江名校联考)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数aA．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)解析：函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a2－a≤2，,－2≤2a－2≤2，,2a－2＜a2－a.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤a≤2，,0≤a≤2，,a＜1或a＞2，))∴0≤a＜1，故选C.答案：C9．函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数mA．2 B．－1C．－1或2 D．5解析：∵f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或2，当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．当m＝2时，f(x)＝x，是增函数，舍去，故选B.答案：B10．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，且y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(－2)的值是()A．16 B．8C．－16 D．－8解析：∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m∴－1<m<3，又∵m∈Z，∴m＝0,1,2，当m＝0时，f(x)＝x3，奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x4，偶函数，此时f(－2)＝(－2)4＝16，当m＝2时，f(x)＝x3，舍去，故选A.答案：A11．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)12．已知关于x的方程x2－2mx＋m－3＝0的两个实数根x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(3，＋∞)，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＜0，,f3＜0，,f－1＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3＜0，,9－6m＋m－3＜0，,1＋2m＋m－3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜3，,m＞\f(6,5)，,m＞\f(2,3)，))所以eq\f(6,5)＜m＜3.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))13．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．14．已知函数f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－eq\f(1,x)，设0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)，∵x1x2＞0，x2－x1＞0，∴f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－eq\f(1,x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋eq\f(1,x)，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＜x2，h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,x1x2))).因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，所以2－eq\f(1,x1x2)＞0，所以h(x1)＜h(x2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，所以实数a的取值范围是(－∞，3]．[能力提升]1．(2017届杭州模拟)已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋eq\f(a,2)＞0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(0,2) B．(2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(0,4)解析：二次函数图象开口向上，对称轴为x＝eq\f(a,2).又x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋eq\f(a,2)＞0恒成立，即f(x)min＞0.①当eq\f(a,2)≤－1，即a≤－2时，f(－1)＝1＋a＋eq\f(a,2)＞0，解得a＞－eq\f(2,3)，与a≤－2矛盾；②当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(1)＝1－a＋eq\f(a,2)＞0，解得a＜2，与a≥2矛盾；③当－1＜eq\f(a,2)＜1，即－2＜a＜2时，Δ＝(－a)2－4·eq\f(a,2)＜0，解得0＜a＜2.综上得实数a的取值范围是(0,2)．故选A.答案：A2．(2017届河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一个零点，－1是f(x)的一个极小值点，那么不等式f(x)＞0的解集是()A．(－4,2)B．(－2,4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：依题意，f(x)是二次函数，其图象是抛物线，开口向上，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4，因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a＞0)，于是f(x)＞0，即为(x＋4)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜－4.答案：C3．(2017届陕西汉中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的单调减函数，则a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0]C．(－∞，0] D．(－∞，－1]解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0.若函数f(x)为R上的单调减函数，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,－2)＝\f(a,2)≤0，,－1－a≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a≥－1，))即－1≤a≤0，故选B.答案：B4．(2017年山东卷)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.解析：①exf(x)＝ex·2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质；②exf(x)＝ex·3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x在R上单调