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文档简介
2018届高三高考数学二轮复习
专题训练
目录
概率论与数理统计01.........................................................................................1
概率论与数理统计02........................................................................................7
概率论与数理统计03.......................................................................................13
概率论与数理统计04......................................................................................21
离散型随机变量期望与方差..............................................29
离散型随机变量分布列..................................................36
三角函数01......................................................................................................42
三角函数02.....................................................................................................48
三角函数03......................................................................................................54
三角函数04......................................................................................................59
数列01.............................................................................................................65
数列02.............................................................................................................73
数列03.............................................................................................................80
数列04.............................................................................................................87
数列05.............................................................................................................94
数列通项公式的求法一构造构造辅助数列...............................101
数列通项公式的求法二累加累乘.........................................107
数列通项公式的求法三特殊方法........................................112
圆锥曲线01....................................................................................................118
圆锥曲线02....................................................................................................125
圆锥曲线03....................................................................................................133
圆锥曲线04....................................................................................................141
高三高考数学二轮复习专题训练
概率论与数理统计01
1、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,8,C,。四个不同的岗位服务,每个岗位至少
有一名志愿者。
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
A?1
解:(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件£人,那么P(EQ=T7=—,
。5A40
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是1-。
40
A41
(2)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)=r4=±,
C5At10
—9
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=N-。
2、一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,
摸出的球不再放回。
(1)连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
(2)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率。
解:(1)从袋中依次摸出2个球共有蜀种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有尺尺
A2A21741
种结果,则所求概率[=」^=一(或片=2'—=一)。
A;6986
A1A1A1
(2)第一次摸出红球的概率为T,第二次摸出红球的概率为,第三次摸出红球
A;
4-4'
的概率为—2,则摸球次数不超过3次的概率为:
4
一A;小;,湖二7
2Al4;闵12°
1
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3、在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的。若对4道选择题中的每
一道都任意选定一个答案,求这4道题中:
(1)恰有两道题答对的概率;
(2)至少答对一道题的概率。
解:设“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试
验中“选择正确”这一事件发生的概率为工,由独立重复试验的概率公式得::
4
(1)恰有两道题答对的概率为6==条
4,81175
(2)至少有一道题答对的概率为1一4(0)=1-C;-I_____=____
-256-256
4、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了
“株沙柳。各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为尸,设J为成活沙柳的株数,数学
期望为3,标准差若为立。
(1)求〃,P的值,并写出片的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率。
解:由题意知,J服从二项分布B(马p),P(J=k)=Cpk(l—pyT,攵=0,1,…
311
(1)由Ej=np=3,(4A=np(l-p)=—,得1一〃二万,从而n=6,P=—o
J的分布列为:
0123456
1615201561
P
64646464646464
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(JW3),
,曰o/人、1+6+15+2021—a1匕015+6+121
得P(A)=----------=一,或尸(4)=1-P(J>3)=11---------=一
64326432
2
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5、在某次普通话测试中,为测试字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片上印有一个汉
字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音"g':
(1)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张,
测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行,求这三位被测试者抽取的卡片上,
拼音都带有后鼻音“g”的概率;
(2)若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张,求这3张卡片上,拼音带有后
鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
解:(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取的1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”
的概率为士。因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而,所求
(2)设A,(j=0,1,2,3)表示所抽取的三张卡片中,恰有,张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其
C'C27C31
相应的概率为p(4),则P(A?)=,=而,。3)=才=示,
7111
)
因而所求概率为P(A+A3)=P(A2)+/(A3)=—+—=—o
6、某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B
的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人
参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为4,科目B每次考试成绩合格的概率
3
均为设各次考试成绩合格与否均互不影响。
2
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率;
(2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为J,求J的
数学期望
3
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解:设“科目A第一次考试合格”为事件A:'科目A补考合格”为事件A2:'科目B第一次考试
合格”为事件与,“科目B补考合格”为事件B20
(1)不需要补考就获得证书的事件为4•旦,注意到Ai与Bi相互独立,
211
则尸(A叫)=P(4)XP(4)=§X5=3
所以,该考生不需要补考就获得证书的概率为
3
(2)由已知得,J=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
----2111114
p6=2)=尸(A再)+P(A叫)=?彳+代=1+十三,
3幺333yy
-...-2112111211114
^=3)=^^)+^^)+^^)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=-+--=-,
32232233266+99
———....12111211111
P©=4)=尸(A叫叫应)+P(A叫再也)=-x-x-x-+-x-x-x-=-+-=-.
33ZZ33ZZloloy
44188
故Ef=2x2+3x=+4x+=2。答:该考生参加考试次数的数学期望为2。
99933
7、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试
合格就签约。乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试
合格的概率都是上,且面试是否合格互不影响。求:
2
(1)至少有1人面试合格的概率;
(2)签约人数&的分布列和数学期望。
解:用C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A,8,。相互独立,且
P(A)=P(B)=P(C)=g。
_______17
(1)至少有1人面试合格的概率是1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1一(一y=-
28
(2)&的可能取值为0,1,2,3o
P(W=0)=P(ABC)+P(ABQ+P(ABC)
4
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=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ
“⑷P向P©+P⑷尸⑷尸©+尸⑷P同P(O=(3+(3+(夕=|.
——11
p(^=2)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-.,=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-.
88
所以,]的分布列为:
0123
3311
P
8888
3311
[的期望E[=0x2+lx2+2x±+3x上=1。
8888
8、已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验
结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病。下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止。
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3
只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中
任取1只化验。
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(2)J表示依方案乙所需化验次数,求J的期望。
5
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方案乙所需化验次数4的期望为0.2x0.4+0.2x0.8+0.2xl+0.2xl0.64o
6
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概率论与数理统计02
9、购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费。元,如果投保人在购买保险的
一年度内出险,那么可以获得10000元的赔偿金。假定在一年度内有10000人购买了这种
保险,且各投保人是否出险相互独立。已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元
的概率为1-0.999"'。
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小
于0,求每位投保人应交纳的最低保费。(单位:元)
解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数
为J,则J〜p).
(1)1己A表示事件保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金则,发生当且仅当4=0,
P(A)=1一尸(a=1—P(J=0)=l-(l—0严,又P(A)=l-0.999©,故“=0.001。
(2)该险种总收入为1000Q/元,支出是赔偿金总额与成本的和。
支出:10000^+50000,盈利:77=10000a-(10000^+50000),
盈利的期望为日7=10000。一10000£^—50000,由J〜3(104JO-,知,
成=10000x10-3,Ez7=io4a-lO4^-5xlO4=104a-104xl04xl0-3-5xl04o
Ez/^O«104«-104xl0-5xl04^0<=><z-10-5^015(元卜
故每位投保人应交纳的最低保费为15元。
7
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10、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,
且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(3)记J表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求J的分
布列及期望。
解:记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,
记6表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,
记。表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,
记。表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,
(1)C=AB+AB,P(C)=P(AB+A-B)=P(A-5)+P(A-B)
=P(A)・尸(5)+P(A)・P(豆)=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5;
(2)D=AB,P(D)==P(A)-P(B)=0.5x0.4=0.2,
尸(O)=l-P(万)=0.8;
(3)5(3,0.8),故J的分布列为:
2
%=0)=023=0.008.=i)=c]x0.8x0.2=0.096;
=2)=C;x0.82x0.2=0.384;P(=3)=08=0.512;所以Ej=3x0.8=2.4。
11、甲乙两个盒子中装有大小相同的小球,甲盒中有2个黑球和2个红球,乙盒
中有2个黑球和3个红球,从甲乙两盒中各任取一球交换。
(1)求交换后甲盒中恰有2个黑球的概率;
(2)设交换后甲盒中黑球的个数为自,求[的分布列及数学期望。
8
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解:(1)取出的两个球都是黑球,则甲盒恰好有两个黑球的事件记为4,
则尸⑷=耳与」;
取出的两个球都是红球,则甲盒恰好有两个黑球的事件记为A2,
ClCl31
则262)=^^=高;所以P=P(A)+P(A2)=7。
C4,C51v2
(2)^=1)=4^-=—,PC=2)=L,PC=3)=^^=3
C\C\102bC\C\5
自的分布列为:
12、袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,,现有甲、
7
乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,
直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在第一次被取出的机会是等可能
的,用J表示取球终止时所需要的取球次数。求:
(1)袋中原有白球的个数;
(2)随机变量J的数学期望;
(3)甲取到白球的概率。
/j(n-l)
1C27
解:(1)设袋中原有几个白球,由题意知:3=方=一短-=-羡
:.〃(〃—1)=6,解得〃=3或〃=-2(舍去),即袋中原有3个白球;
(2)由题意,J的可能取值为1,2,3,4,5,
9
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3
P(4=l)=],Pq=2)=4x3_2山.344x3x36
7x67'()7x6x535
p饪=4)=4.X3X2X334x3x2xlx31
/j—DJ—
\'7x6x5x4357x6x5x4x335
所以,取球次数^的分布列为:
A1*»345
32631
P
77353535
£4=lx-+2x-+3x—+4x—+5x-=2.
77353535
(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记“甲取到
白球”的事件为A,则P(A)=P("J=1”或=3”或"J=5”),
因为事件笛=1"*=3"*=夕两两互斥,
所以尸(A)=P(”1)+尸("3)+P(J=5用+卷+2=||
13、甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有机个球,乙袋中共有2根
2
个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为',从乙袋中摸出1个球为红球的概率为
(1)若〃?=10,求甲袋中红球的个数;
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是:,求鸟
的值;
(3)设22=),若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且
从甲袋中摸1次从乙袋中摸2次。设J表示摸出红球的总次数,求J的分布列和数学期望。
2
解:(1)设甲袋中红球的个数为x,依题意得x=10x《=4;
2
—m+2mP2]q
(2)由已知得:3------------=!,解得R=二
3m3210
10
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,c、n%八、34448八“八2443G1456
(3)P(^0)=-x-x-=-,P(^l)=-x-x-+-xC2x-x-=-
,P(^=3)=1x||2
3O125
所以?的分布列为:
40123
2
P485619
X
125125125125
4
所以=1。
14、甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一
2221
分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为女,乙队中3人答对的概率分别为士,士二,
3332
且各人回答正确与否相互之间没有影响。用J表示甲队的总得分。
(1)求随机变量4的分布列和数学期望;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用8表示“甲队总得分大于乙队
总得分”这一事件,求尸(AB)。
解:(1)解法1:由题意知,J的可能取值为0,1,2,3,且
P(^0)=Cfx[l-|)3=±,^=l)=C]x|x(l-|j2=|,
PC=2)=cM|j“W,"『Mx/*。
所以J的分布列:
0123
1248
尸
279927
州数学期望为-0$+lx|+2x扣乂*2。
解法2:根据题设可知,J〜,因此J的分布列为:
11
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%=上小扑1丁=《9k=0,1,2,3o
因为4〜,所以Ej=3xg=2。
(2)解法1:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用。表示“甲得3分乙得。分”这一
事件,所以4B=CU。,且C,。互斥,
2
1112111110
又P(C)=C;x-X-X-+-X-X-+-X-X-
32332332F,
P(DXx[|)3xgxixg=1,
1043434
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=—+—=—=——o
33323
解法2:用人表示“甲队得女分”这一事件,用纥表示“乙队得攵分”这一事件,k=0,1,2,3o
由于事件,44为互斥事件,
故有餐)=。
P(AB)=P(A3BOU4P(AB0)+P(A2Bi)
由题设可知,事件人与为独立,事件为与与独立,
因此P(AB)=p(Ad)+p(&4)=P(A)P(线)+P(4)P(4)
-仔丫J】xlL-QJJ।21一34
一⑴廿产XEE*关+54司一诟。
12
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概率论与数理统计03
15、随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三
等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、
1万元,而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润(单位:万元)为
(1)求J的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即J的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%o如
果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
解:(1)J的所有可能取值有6、2、1、一2;
P(^=6)=—=0.63;P«=2)=拒=0.25;
200200
204
p《=l)=君=0.1;p6=_2)=荻=0。2,故J的分布列为:
461•X
P0.630.250.10.02
(2)£^=6x0.63+2x0.25+1x0.1+(-2)x0.02=4.34;
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为
£:(X)=6X0.7+2X(1-0.7-0.01-X)+(-2)X0.01=4.76-A(0<X<0.29)
依题意,E(x)>4.73,即4.76-X24.73,解得xW0.03,所以三等品率最多为3%。
16、在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐。已知
只有5发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中
率都是士,每次命中与否互相独立。
3
13
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(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹用尽则停止射击,设射击次数为J,求J的分布列及其数学期望。
解:(1)‘油罐被爆引的事件为事件A,其对立事件为A,”
贝P(A)=C^V)4+d)5.•・P(A)=1-P(A)=--
535»•,
24
(2)射击次数J的可能取值为2、3、4、5,P(J=2)=(-)2=-;
j9
P(^=3)=C;-j.1.|=1-;尸e=4)=C;H)2,;=t.
JD。。。/
7111
4
^=5)=c-.-.(-r+(-)=-:
故j的分布列为:
2345
484£
P
927279
c4、8“4u179
E&2x-+3x——+4x——+5x-=——
92727927
17、学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有
1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个
球,若摸出的白球不少于2个,则获奖。(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中,
①摸出3个白球的概率;
②获奖的概率;
(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)o
14
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i।杆3峻-,i1次劭战中独:丁了个门球~为1:气」(,,。・1・2・33・“
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u>Q"在1次说皮中女其“为小寸〃•㈣A=4U4・乂
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1
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《7Y”
f=吁L"E
7>
所以XM力6F至___
二匚五二
7
*的故不用;'"5
2
18、某射手每次射击击中目标的概率是一,且各次射击的结果互不影响。
3
(1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;
(2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;
(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分。在3次射
击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3
分。记J为射手射击3次后的总的分数,求J的分布列。
(1)解:设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~8[5,g)。在5次射击中,恰
2?_40
有2次击中目标的概率P(X=2)=C2X1|
5YXG3J-243
/
(2)解:设,第,次射击击中目标”为事件4(i=l,2,3,4,5):'射手在5次射击中,有3次连
续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,贝IJ
P(A)=P(A4A4')+P(A4444)+P(4%A4A)
15
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8
87
(3)解:由题意可知,J的所有可能取值为0,1,2,3,6
P《=0)=P(T*)=
12122
尸«=1)=尸(A44)+avlA)+尸(%无A)=+-X-X-+x-=-
33339
——2124
P《=2)=P(A4A)=5X§X丁云,
户《=3)=P(AaH)+P(44A3)=仔]x1+1xW=.,
P«=6)=P(A44)=
所以J的分布列是:
<)1*>36
183
一•而2727
*—•
19、在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3
件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果为C;。,从10件产品中任取3件,
其中恰有人件一等品的结果数为C:C/,那么从10件产品中任取3件,其中恰有人件一等
「k「3-k
品的概率为P(X=k)=31,k=0,1,2,3,
"o
所以随机变量X的分布列是:
16
高三高考数学二轮复习专题训练
X0123
7
242173
p4O-40-T2O
721719
X的数学期望EX=0x2-+lx二+2x」-+3x」一=二
24404012010
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A;
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A;
“恰好取出2件一等品”为事件A?;
“恰好取出3件一等品”为事件A?;
C'C23
由于事件4,4,&彼此互斥,且A=4U&UA3,而=5,
71
P(4)=尸(X=2)=而,P(4)=P(X=3)=芮,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
37131
尸⑷=P(AJ+P(A,)+P(4)=j+'+——=—o
1234040120120
20、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为g与p,且乙投球
2次均未命中的概率为工。
16
(1)求乙投球的命中率p;
(2)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为J,求J的分布列和数学期望。
解:(1)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,
由题意得(1一尸(5))2=(1—p)一二7,解得p=二或p=:(舍去),
1644
3
所以乙投球的命中率为一;
4
1-13-1
(2)由题设和(1)知尸(4)=,,P(A)=],「网二,P(B)=-O
17
高三高考数学二轮复习专题训练
J可能的取值为0、1、2、3,故P©=0)=尸(X)P(月方)=gx];11W
___,__IfIV3117
=1)=P(A)P(BUB)+C[P(B)P(B)P(A)=2xl4I+2义丁1*厂交
p©=3)=P(A)P(8OB)=
P©=2)=1—PC=0)—PC=l)-PC=3)=<;
?的分布列为:
0123
17159
尸
32323232
17159
J的数学期望Ej=0x石+lx"+2x“+3x石=2。
,乙。乙◊乙
21、已知甲盒内有大小相同的1
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