2019年湖北省十堰市中考数学试卷（解析版）

2019年湖北省十堰市中考数学试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，

只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.

1.（3分）（2019•十堰）下列实数中，是无理数的是（）

A.0B.-3C.1D.V3

3

【考点】22：算术平方根；26：无理数.

【专题】511：实数.

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案.

【解答】解：40是有理数，故A错误；

B、-3是有理数，故B错误；

C、工是有理数，故C错误；

3

D、'巧是无理数，故。正确；

故选：D.

【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环

小数.

2.（3分）（2019•十堰）如图，直线a〃b,直线4B_LAC,若Nl=50°,则/2=（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到/3,根据两直线平行，内错角相等

可得/3=/1.

【解答】解：：直线。〃6,Zl=50°,

.•.Nl=N3=50°,

:直线AB_LAC,

；./2+/3=90°.

.•.Z2=40°.

【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键.

3.（3分）（2019•十堰）如图是一个L形状的物体，则它的俯视图是（）

m0皿

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

【解答】解：从上面看可得到两个左右相邻的长方形，并且左边的长方形的宽度远小于

右面长方形的宽度.

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

4.（3分）（2019•十堰）下列计算正确的是（）

222

A.2〃+〃^2。B.（-a）-a

C.（a-1）2=J_]D.（ab）2=aV

【考点】35：合并同类项；47：塞的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出

答案.

=

【解答】解：A、2a+a3a9故此选项错误；

B、（-a）2=J,故此选项错误；

C、（〃-1）1—a-2«+1,故此选项错误；

2

D、(〃/?)〃2户正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关

运算法则是解题关键.

5.（3分）（2019•十堰）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线相等D.对角线互相平分

【考点】L5：平行四边形的性质；LB：矩形的性质.

【专题】14：证明题.

【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等.

【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.

故选：C.

【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注

意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如，矩形的对角线相等.

6.（3分）（2019•十堰）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮

盖）:

组员甲乙丙T戊平均成绩众数

得分8177■808280■

则被遮盖的两个数据依次是（）

A.80,80B.81,80C.80,2D.81,2

【考点】W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答

案.

【解答】解：根据题意得：

80X5-（81+77+80+82）=80（分），

则丙的得分是80分；

众数是80,

故选：A.

【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不

大.

7.（3分）（2019•十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米

的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提

前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）

A60006000代60006000

xx+20x+20x

C6000_6000—J60006000

xx-15x-15x

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】设原计划每天铺设钢轨无米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,

就能提前15天完成任务可列方程.

【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：6001J000

xx+20

故选：A.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列

出方程.

8.（3分）（2019•十堰）如图，四边形ABC。内接于O。，AELC8交的延长线于点£,

若8A平分/QBE,AD=5,CE=413<则AE=（）

A.3B.3A/2C.4V5D.25/3

【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】连接AC,如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到N1=/CD4,Z2

=/3,从而得到N3=NCZM,所以AC=AO=5,然后利用勾股定理计算AE的长.

【解答】解：连接AC,如图，

平分

.•.Z1=Z2,

'：Z1^ZCDA,/2=N3,

：.Z3=ZCDAf

'.AC—AD—5,

'：AE±CB,

：.ZAEC=90°,

A£=VAC2-CE2=752-（V13）2=2^-

故选：D.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的

任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了勾股定理.

9.(3分)(2019•十堰)一列数按某规律排列如下：1,1,2,1,2,3,1,2,2,

121321432

❷，…，若第〃个数为5，则”=()

17

A.50B.60C.62D.71

【考点】37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1,(1,2),(1,2,3),…，分母变

化是1,(2,1),(3,2,1),…，从而可以求得第“个数为3时w的值，本题得意解决.

7

【解答】解：1,1,1,1,2,2,1,2,2,区,•••,可写为：1,(1,2),

1213214321121

2,2,W),(1,2,W,A),…，

3214321

分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为

1234567891011

IT,记，T'5’7*T5T7'~3'丁

.•.第”个数为8,则w=l+2+3+4+…+10+5=60,

7

故选：B.

【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化

规律.

10.(3分)(2019•十堰)如图，平面直角坐标系中，4(-8,0),8(-8,4),C(0,4),

反比例函数y=工的图象分别与线段AB,BC交于点D,E,连接DE.若点B关于DE

X

的对称点恰好在。4上，则％=()

%

BE!C.

A0\~x

A.-20B.-16C.-12D.-8

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P2：轴对称的性质.

【专题】33：函数思想；35：转化思想；534：反比例函数及其应用；55D：图形的相似.

【分析】根据A(-8,0),8(-8,4),C(0,4),可得矩形的长和宽，易知点D的

横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有上的代数式表示另外一个坐标，

由三角形相似和对称，可用求出AE的长，然后把问题转化到三角形F中，由勾股定

理建立方程求出左的值.

【解答】解：过点E作垂足为G,设点8关于OE的对称点为凡连接。尺

EF、BF,如图所示：

则△BDE-FDE,

:.BD=FD,BE=FE,NDFE=NDBE=9Q°

易证

.AFDF

VA(-8,0),2(-8,4),C(0,4),

：.AB=OC=EG=4,OA=BC=S,

:。、E在反比例函数y=K的图象上，

X

：.E(K,4)、。(-8,-A)

48

AOG=EC=-^~,AO=-K,

48

；.BD^4+—,BE=8+—

84

.BD^4-H8_1_DF_AF

,.而二〜k下五五'

•••AF=’EG=2,

在Rtz\AD尸中，由勾股定理：AD1+AF2=DF1

即：(-K)2+22=(4+K)2

88

解得：k=-12

【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的

图象和性质等知识，发现8。与BE的比是1：2是解题的关键.

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）（2019•十堰）分解因式：a+2a=a（a+2）.

【考点】53：因式分解-提公因式法.

【分析】直接提公因式法：观察原式/+2处找到公因式°,提出即可得出答案.

【解答】解：a~+2a=a（a+2）.

【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地，因式分解有两种方法，提公因

式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法.该题是直接提公因式法的

运用.

12.（3分）（2019•十堰）如图，已知菱形ABC。的对角线AC,BD交于点O,E为BC的

中点，若OE=3,则菱形的周长为24.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形的对角线互相平分可得8。=。。，然后求出OE是△28的中位线，

再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD,然后根据菱形的周

长公式计算即可得解.

【解答】解：•••四边形ABCO是菱形,

：.AB^BC^CD^AD,BO=DO,

:点E是8c的中点，

；.OE是ABCD的中位线，

：.CD=2OE=2X3=6,

菱形42。的周长=4X6=24；

故答案为：24.

【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线

定理是解题的关键.

13.（3分）（2019•十堰）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开.某校为了做好“创

文”活动的宣传，就本校学生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生

的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

各等级学生人数条开乡统计图各等级学生△裁条形统计图

优秀力及格

不及格

若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有

人.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】先根据及格人数及其对应百分比求得总人数，总人数乘以优秀对应的百分比求

得其人数，继而用总人数乘以样本中优秀、良好人数所占比例.

【解答】解：：被调查的总人数为28・28%=100（人），

优秀的人数为100X20%=20（人），

估计成绩为优秀和良好的学生共有2000X型地.=1400（人），

100

故答案为：1400.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

14.(3分)(2019•十堰)对于实数a,b,定义运算“◎”如下：a©b=Ca+b)2-(a-b)

2.若(Z?7+2)◎(m-3)=24,则m=-3或4.

【考点】2C：实数的运算；A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】利用新定义得到［(优+2)+(m-3)?-［(〃?+2)-(m-3)『=24,整理得到

(2m-1)2-49=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：根据题意得［(m+2)+(m-3)］2-［。"+2)-(m-3)f=24,

(,2m-1)2-49=0,

(,2m-1+7)(2m-1-7)=0,

Im-1+7=0或2m-1-7=0,

所以mi--3,相2=4.

故答案为-3或4.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

15.(3分)(2019•十堰)如图，A2为半圆的直径，且AB=6,将半圆绕点A顺时针旋转

60。，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6TT.

BA

【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆

的面积.

【解答】解：由图可得，

图中阴影部分的面积为：60X71X62冗X(6+2)2兀X(6+2)2=6m

36022

故答案为：67T.

【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

16.（3分）（2019•十堰）如图，正方形ABC。和RtZVIERAB=5,AE=A尸=4,连接BR

DE.若△AEP绕点A旋转，当/ABF最大时，5A4»K=6.

E

【考点】KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】作OHLAE于8，如图，由于&尸=4,则△/!斯绕点A旋转时，点P在以A为

圆心，4为半径的圆上，当为此圆的切线时，/ABF最大,即利用勾股定

理计算出8尸=3,接着证明△AQ”也得到。H=BE=3,然后根据三角形面积公式

求解.

【解答】解：作DHLAE于X,如图，

；AF=4,当△4环绕点A旋转时，点厂在以A为圆心，4为半径的圆上，

.•.当8/为此圆的切线时，/ABF最大,即8FJ_AF,

在Rt2XAB尸中，BF={52-42=3'

VZEAF=90°,

AZBAF+ZBAH=9Q°,

,：ZDAH+ZBAH=90°,

；./DAH=/BAF,

在△A。//和△ABF中

'NAHD=NAFB

<NDAH=/BAF，

、AD=AB

.,.△ADH%△ABF（A4S）,

:.DH=BF=3,

；•S"DE=LA£・Z）”=LX3义4=6.

22

故答案为6.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17.（5分）（2019•十堰）计算：（-1）tll-料|+烟.

【考点】2C：实数的运算.

【专题】11：计算题；511：实数.

【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值.

【解答】解：原式=-1+72-1+2=72.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（6分）（2019•十堰）先化简，再求值：（1-工）+（A+1--2）,其中a=«+l.

aa

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将。的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：（1-1）+（ai+L_2）

aa

9

=a-l,a+l-2a

aa

a-la

a（a-l）2

=1

a-l’

当a=J5+1时，原式=厂1------N3.

V3+1-13

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

19.（7分）（2019•十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABC。，AD=3m,坝高

6m,坡角a=45°,0=30°,求BC的长.

AD

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】过A点作AE，8c于点E,过。作。于点尸，得到四边形AEF。是矩形,

根据矩形的性质得到尸=6,AD=EF=3,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过A点作于点£过。作。尸，BC于点R

则四边形AEFD是矩形，有AE=。尸=6,AD=EF=3,

:坡角a=45°,0=30°,

：.BE=AE=6,CF=»/3DF=6yf3>

：.BC=BE+EF+CF=6+3+673=9+6^3-

:.BC=（9+6A/3）m,

答：BC的长（9+W5）m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，

利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解.

20.（7分）（2019•十堰）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球,

这些球除颜色外无其他差别.

（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是2.

-3_-

（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中

恰好1个白球、1个黄球的概率.

【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好1个白球、1个黄球的结

果数，然后根据概率公式求解；

【解答】解：（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是2,

3

故答案为：—

3

(2)画树状图为:

白白苗

八

白苗4苗…二

-白黄白黄，

共有6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果，

所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为

2

【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求

出〃，再从中选出符合事件A或8的结果数目加，然后根据概率公式求出事件A或3的

概率.

21.(7分)(2019•十堰)已知于x的元二次方程x2-6x+2a+5=0有两个不相等的实数根xi，

X2-

(1)求°的取值范围；

(2)若xj+x??-X1X2W30,且a为整数，求a的值.

【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】(1)根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得。的取值范围；

(2)由根与系数的关系，用。表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于。的不等

式，则可求得。的取值范围，再求其值即可.

【解答】解：(1):•关于尤的一元二次方程/-6x+2a+5=0有两个不相等的实数根引，

如

.•.△>0,即(-6)2-4(2。+5)>0,

解得。<2；

(2)由根与系数的关系知：XI+X2=6,xix2=2a+5,

"."xi,X2满足xC+X2-尤1X2W30,

(X1+X2)2-3XIMW30,

A36-3(2a+5)W30,

.•.a》-3，：a为整数，

2

的值为-1,0,1.

【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范

围是解题的关键，注意方程根的定义的运用.

22.（8分）（2019•十堰）如图，ZkABC中，AB=AC,以AC为直径的交3c于点。，

点E为C延长线上一点，且

2

（1）求证：。石是O。的切线；

（2）若CE=2,求。。的半径.

【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）根据圆周角定理得出/AOC=90°,按照等腰三角形的性质和已知的2倍

角关系，证明/OOE为直角即可；

（2）通过证得△口）£/△加£,根据相似三角形的性质即可求得.

【解答】解：（1）如图，连接O。，AD,

：AC是直径，

/.ZADC=90°,

C.ADLBC,

'：AB=AC,

：.ZCAD^ZBAD^ZBAC,

2

,：ZCDE=^-ZBAC.

2

：.ZCDE^ZCAD,

\'OA=OD,

：.ZCAD^ZADO,

VZADO+ZODC=90°,

：.ZODC+ZCDE^90°

・•・ZODE=90°

又・・・。。是OO的半径

・・・0E是O。的切线；

(2)解：\9AB=AC,AD±BC,

:・BD=CD,

VAB=3BZ),

：.AC=3DC,

设。C=羽贝UAC=3x,

：.AD=yj^2_^<-,2=2-/2>c,

,：ZCDE=ZCAD,ZDEC=Z.AED,

：./\CDE^/\DAE,

•CE__DC_DE即2=x_DE

DEADAEDE2^/2x3x+2

:・DE=4y[^,x=^-,

3

・・・AC=3x=14,

・・・。0的半径为7.

【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相

似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形.

23.（10分）（2019•十堰）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼,其进价为18元1kg.设

第x天的销售价格为y（元/依），销售量为相（依）.该超市根据以往的销售经验得出以

下的销售规律：①当1«0时，y=40；当31WxW50时，y与x满足一次函数关系，

且当％=36时，y=37；x=44时，y=33.②m与x的关系为m=5x+50.

（1）当3KW50时，y与x的关系式为—y=Jx+55—；

（2）尤为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随尤的增大而增大，则需要在

当天销售价格的基础上涨a元/仅，求a的最小值.

【考点】37：规律型：数字的变化类；HE：二次函数的应用.

【专题】124：销售问题；536：二次函数的应用；68：模型思想.

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.

（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31WxW50时，y与无的关系式为：y=J-x+55,

2

（2）根据销售利润=销售量X（售价-进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x

（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润.

（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随尤的增大而增大，则对称轴=一旦

2a

235,求得。即可

【解答】解:

（1）依题意，当兀=36时，y=37；x=44时，y=33,

当31WxW50时，设y=kx+b,

则有（37=36k+b,解得］卜=方

l33=44k+b卜=55

.,.y与x的关系式为：y=-A-X+55

,"2

（2）依题意，

VW=（y-18）em

'（40-18）・（5x+50）,（l<x<30）

"W=<（4x+55）（5x+50）,（31<x<50）

'110x+1100,（l<x<30）

整理得，«=.多2+i60x+1850,（31<x<50）

当1W*W3O时,

随x增大而增大

，x=3O时，取最大值W=3OXI10+1100=4400

当31WxW50时，

2

W=-|-.¥+160X+1850=-|-（X-32）<4410

:_X<o

2

；.x=32时，W取得最大值，此时W=4410

综上所述，尤为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元

（3）依题意，

59

W=（W-18）-777=-yx+（160+5a）x+1850+50e

:第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大

，对称轴x=上=-16。+.三35,得“23

2a2X（-f）

故a的最小值为3.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选

择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.

24.（10分）（2019•十堰）如图1,△ABC中，CA=CB,ZACB=a,。为△ABC内一点，

将△CA。绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE,点A,D的对应点分别为点B,E,

且A,D,E三点在同一直线上.

（1）填空：NCZ）E=18C'-a（用含a的代数式表示）；

~2-

（2）如图2,若a=60°,请补全图形，再过点C作CPLAE于点尸，然后探究线段CR

AE,BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若a=90°,AC=5®且点G满足/AG2=90°,BG=6,直接写出点C到AG

的距离.

（图1）（图2）

【考点】RB：几何变换综合题.

【专题】32：分类讨论；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】（1）由旋转的性质可得CZ）=CE,ZDCE^a,即可求解；

（2）由旋转的性质可得CD=CE,ZDCE=6Q°,可证是等边三角形,

由等边三角形的性质可得。/=所=返CF，即可求解；

3s

（3）分点G在A8的上方和A8的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解.

【解答】解：（1）:将△C4。绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE

:.AACD咨ABCE,ZDCE=a

：.CD=CE

.•.NCT)E=]80_U

2

故答案为：180-Q

2

(2)AE=BE+^^CF

3

理由如下：如图，

:将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△C2E

...AACD^ABCE

：.AD=BE,CD=CE,NDCE=60°

...△CDE是等边三角形，MCFLDE

:.DF=EF=qCF

"：AE^AD+DF+EF

:.AE=BE+^J^-CF

3

(3)如图，当点G在48上方时，过点C作CELAG于点E,

VZACB=90°,AC=BC=5近,

：.ZCAB=ZABC=45°,AB=10

VZACB=90°=ZAGB

・••点C,点G,点8,点A四点共圆

AZAGC=ZABC=45°,且CE_LAG

ZAGC=ZECG=45°

：.CE=GE

VAB=10,GB=6,ZAGB=90°

•'-AG=VAB2-GB2=8

'：AC2=AE2+CE2,

：.（5我）2=（8-CE）2+CE2,

:.CE=7（不合题意舍去），CE=1

若点G在A8的下方，过点C作CF±AG,

同理可得：CF=7

/.点C到AG的距离为1或7.

【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形

的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键.

25.（12分）（2019•十堰）己知抛物线y=a（x-2）2+（；■经过点A（-2,0）和C（0,卷）,

与x轴交于另一点8,顶点为£）.

（1）求抛物线的解析式，并写出。点的坐标；

（2）如图，点E,尸分别在线段AB,BD1.（E点不与A,8重合），且

则△。斯能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点P在抛物线上，且学即■=〃?，试确定满足条件的点P的个数.

^ACBD

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】153：代数几何综合题.

【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题.

（2）可能.分三种情形①当。尸时，②当。£=历时，③当。尸=历时，分别求

解即可.

（3）如图2中，连接BD,当点P在线段BD的右侧时，作DHLAB于H,连接PD,

PH,PB.设尸团，-且（77-2）2+引，构建二次函数求出的面积的最大值，再根

16

据对称性即可解决问题.

16a+c=0

【解答】解：（1）由题意：，9,

4a+c=w

f3

解得116.

、c=3

...抛物线的解析式为＞=--（X-2）2+3,

16

顶点。坐标（2,3）.

（2）可能.如图1,

图1

VA(-2,0),D(2,3),B(6,0),

：.AB=8,AD=BD=5,

①当DE=DF时,ZDFE=ZDEF=ZABD,

：.EF//AB,此时E与B重合，与条件矛盾，不成立.

②当时，

又,：ABEFsAAED,

：.ABEF^AAED,

，BE=AD=5

③当DF=EF时，ZEDF=ZDEF=ZDAB=/DBA,

XFDEsXDAB,

.EF=DE

"BDAB，

.EF=BD__5

"DEABT

•/△AEFsABCE

.EB=EF__5

"ADDE百，

：.EB=^-AD=^~,

88

答：当BE的长为5或空时，△CFE为等腰三角形.

8

(3)如图2中，连接80,当点尸在线段8。的右侧时，作。”_LA8于H,连接尸口,

贝!JSAPBO=SAPBH+SAPDH-SABOH=LX4X[-(w-2)2+3]+L><3X(w-2)--X4

21622

X3=-二(w-4)2+A,

82

：-2<o,

8

，w=4时，的面积的最大值为W,

..^APED_

^ACBD

...当点尸在2。的右侧时，根的最大值=-7=工，

13

2

观察图象可知：当0＜m＜工时，满足条件的点尸的个数有4个，

3

当机=工时，满足条件的点P的个数有3个，

3

当加＞工时，满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧).

3

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨

论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

考点卡片

1.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数尤的平方等于a,即尤2=°,那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

(3)学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有R的数，如分数n2是无理数，因为it是无理数.

无理数常见的三种类型

(1)开不尽的方根，如、耳，相等.

(2)特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).

(3)含有it的绝大部分数，如21T.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如收是有理数，而不是

无理数.

3.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

5.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为无，再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

6.塞的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（/，）"=/"（机，〃是正整数）

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数哥的乘法中“指数相加”的区别.

(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

(ab)是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

7.完全平方公式

(1)完全平方公式：(a±6)2=a'±2ab+b1.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,6可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

8.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

9.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

10.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

11.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=川-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与△=/-4ac有如下关系：

①当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

12.根与系数的关系

（1）若二次项系数为1,常用以下关系：xi，尤2是方程J+p尤+q=0的两根时，刈+*2=-P,

XlX2=q,反过来可得p=-（X1+X2），q=XlX2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

（2）若二次项系数不为1,则常用以下关系：XI，尤2是一元二次方程以，6x+c=0（aWO）

的两根时，尤1+X2=上，X1X2——＞反过来也成立，即也■=-（X1+X2），——X1X2.

aaaa

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求

另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，尤」+肛2等等.④判断两根的

符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,

解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑△'（）这两个前提条件.

13.由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽