辅导八：锐角三角函数知识点总结与典型例题

锐角三角函数知识点总结与训练1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)SinA=cosAtanA对边邻边斜边AC对边邻边斜边ACB4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，求：AB及OC的长．例3.已知是锐角，，求，的值对应训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为A．B．C．D．21．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.2．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（）A．EQ\F(EQ\R(,5),5) B.EQ\F(2EQ\R(,5),5)C.EQ\F(1,2)D.2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：．2）计算：.3)计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°4)．计算：．5)．计算：；类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米2．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．类型七:三角函数与圆：例1．已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值．例2.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=，求⊙O的半径。对应训练:1.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若,DE=9，求BF的长．2．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．①求证：AB＝AC；②若tan∠ABE＝，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长．复习题如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．图4图5图6如图5，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是（）如图6，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若，则的长为()A．B．C．D．如图8，中，,是直角边上的点，且,，则边的长为．如图10，在矩形中，、、、分别为、、、的中点，若，四边形的周长为，则矩形的面积为______．图10图10图图12图8如图12所示，中，，于，，，则____．等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______.等腰三角形的三边的长分别为1、1、，那么它的底角为A.15° B.30°C.45°D.60°ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2在菱形ABCD中，，AC=4,则BD的长是（）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=求∠B的度数及边BC、AB的长.图13在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．图13（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）