2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷

一、填空题（共12小题）.

1.已知全集U=R,集合A={x|l-x>3x+5},贝i」A=.

2.设a：l（x<4,p：尤<10,则a是0的条件（用“充分非必要”，“必要非充

分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）

3.己知关于无的等式x2+x+a=0的两根为尤1、X2,则|尤1-尤2|=.

4.函数>=炉-3-2（常数a>0且aWl）图象恒过定点尸，则尸的坐标为.

5.不等式得起一的解集为

x*+2x+3

6.设。>0,b>Q,且。+6=1,则」一上的最小值为

ab

7.函数-的严格增区间是_____.

x+4

X

8.函数y=2^_-1■的值域是_____.

2X+1

9.函数y=|尤-1|+|尤|,xe[a,2]的最大值为3,则。的取值范围为.

10.已知四边形A8C。为边长为1的正方形，AC,尤轴，某一直线x=t（t€（0,加））与

正方形ABCQ相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点。部分的面积记为S,则

将S表示为t的函数，其解析式为.

x〉l

11.已知函数f(x)=<11若m<n且/（机）=/（"）,贝！Jw-机的最小值

x41'

[22

为.

12.设aeR,A={(x,y)\y—f(x),尤eR},8={(x,y)||尤|+|y|=1或y=x},若

且关于x的方程/(x)=a无实数解，则实数a的取值范围为.

二、选择题（共4小题）.

13.如果。<0<b,那么下列不等式中正确的是（)

A--Va^VbB.a2Vb2C.〃3〈拄D.ab>b2

14.函数/(x)=x-3+"的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,+8)

15.设/(无)是定义在(-1,1)上的偶函数，且八无)在[0,1)上是严格减函数，f(蒋)=1，

则/(无)<1的解集为()

A.(y.1)B.(-1,

c.(-1,-/)U4，DD.(-1,-y]U[y>

fO,x为无理数

16.定义。(x)=1,4士丁电胡，及印表示不大于x的最大整数，存在函数/(无)满

1.x为有理数

足，对任意的xeR都有()

A./([%])=D(x)B.f([x])=x2+x

C.f(x2+l)=|九+1|D.f(x2+4x)=\x+2\

三、解答题

17.判断函数丫=彳-工，xe(0,+8)的单调性并说明理由.

X

18.已知〃V2,Z?eR,f(x)=x2-2/?x+l,xE[a,2].

(1)当b=0时，求函数y=/(x)的最小值；

(2)当〃=0时，求函数y=/(x)的最大值.

19.设/(无)/一外(。、6为实常数).

2X1+b

(1)当a=6=l时，证明：y=f(x)不是奇函数；

(2)当。=-1,6=-2时，判断并证明函数y=/(x)的奇偶性.

20.已知/(x)=log2(x+1).

(1)若0</(l-2x)-f(x)<1,求x的取值范围；

(2)若关于尤的方程/(4D-X+»J=0有解，求实数机的取值范围.

21.若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意xi,Xi(xiWx2),都有，(xi)-f

(X2)|W%|XLX2|成立，则称函数/(无)在其定义域。上是“左-利普希兹条件函数”.

(1)若函数f(x)=«(l<x<4)是隈-利普希兹条件函数”，求常数上的最小值；

(2)判断函数/(无)=10gM是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，

请说明理由；

(3)若y=/(x)(xeR)是定义在［0,1］上的“1-利普希兹条件函数”，且/(0)=f

(1),求最小的实数机，使得对任意的XI,X2e［0,1］都有，(XI)-f(X2)|W机.

参考答案

一、填空题（共12小题）.

1.已知全集U=R,集合A={尤|1-x>3尤+5},则A={x|xN-1}.

解：集合A={x|l-尤>3尤+5}={小<-1},

又全集U=R,

所以A={无枕分"1）•

故答案为：

2.设a：l（x<4,p：x<10,则a是B的充分非必要条件（用“充分非必要”,“必

要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）

解：因为[1,4）呈（-8,10）,

所以a是0的充分非必要条件.

故答案为：充分非必要.

3.已知关于尤的等式N+x+a=0的两根为无1、xi,则田-龙2|=—71-4a.

解：由韦达定理知，X1+X2--1,尤1•无2=。，

2=_

二田-刈=J（x]-x2）2（xt+x2）-4XJx2Vl4a-

故答案为：Vl-4a-

4.函数y=a*-3-2（常数。>0且OTM）图象恒过定点尸，则P的坐标为（3,-1）.

解：\'y—ax3-2,

，当尤-3=0时，尤=3,

此时y=1-2=-1,

即函数过定点（3,-1）.

故答案为：（3,-1）.

一x+5

5.不等式F-----的解集为（-8,-+8）.

x^+2x+3

解：由尤2+2苫+3>0恒成立得，X+5WN+2X+3,

整理得，x2+x-2^0,

解得，尤21或尤W-2,

故原不等式的解集（-8,+8）.

故答案为：(-8,-2]U[1,+8).

6.设。>0,b>0,且。+6=1,则:+工的最小值为4.

ab

解：V6z+Z?=l,

（a+6）（―+—）=2+且」>2+2、但•包=4,

abababVab

当且仅当2C，即a=6=2■时，取等号.

ab2

故答案为：4.

7.函数的严格增区间是[-2,2].

x+4

解：根据题意，设/（无）,其定义域为R,

x+4

设X1<X2>

X]X2（X1-x2）（4-x1X2）

…）…2）=7^；-;（1+4）（丁》

若/（X1）-f（X2）<0,而X1VX2,即Xl-X2〈0

必有4-xiX2>0,

X

故函数y=W一的严格增区间是[-2,2],

x+4

故答案为：[-2,2].

2X-1

8.函数土的值域是（-1,1）.

2X+1

解:尸一等

2X+12X+1

22

VxeR,・・・2%>0,A0<——<2,A-1<1—<1,

2X+12X+1

・•・函数的值域为(-1,1),

故答案为：（-1,1）.

9.函数》=|4-1|+|九|,xG[a,2]的最大值为3,则〃的取值范围为[-1,2)

-2x+l,x<0

解：y=\x-1|+N="1,0<x<l,

2x-l,

作出分段函数的图象如图:

y

由图可知，要使函数y=|x-l|+|x|,2］的最大值为3,

则a的取值范围为［-1,2）.

故答案为：［-1，2）.

10.已知四边形48。为边长为1的正方形，ACXxft,某一直线x=t（t€（0,加））与

正方形A8CD相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S,则

t2,0<t4平

将S表示为f的函数，其解析式为_S={

1-（V2-t）2'-y-<t<72

解：正方形的面积为1,正方形的对角线如，

当0<fW华时，DK=t,则DE=DF=M，则三角形DEF的面积S=£•及t=

巴

当时，左边面积5=1-SABGH,

此时BP=y/2-t,BH=BG=42（V27），则S^BGH~X^2（料7）X&（加-

力=（V2-02,

则此时S=1-S„BGH=1-（V2-力2,

0<t<4

即s=（厂，

1-（V2-t）2--y-<t<72

.0<t4孚

故答案为：S=r

1-（V2-t）2--y-<t<V2

若m<n且f(m)=f(n),则〃-机的最小值为

1

解：由已知可得：当I>1时，/(%)是单调递增函数,

当了W1时，函数/(x)是单调递增函数，则/(机)=/(九)，m<n,

一定有n-1，即根=2后二T-l,

所以n-m=n-24n-l+L

令4门-15>0,所以九=P+1,

贝!jg(力=产-2什2=(Z-1)2+1,

当/=1时，g(0加〃=L

所以n-m的最小值为1,

故答案为：1.

12.设“ER,A={(x,y)\y=f(x),xGR},B=[(X,y)||x|+|y|=l或丁=%},若ACS

且关于x的方程/(X)=〃无实数解，则实数4的取值范围为(-8,一1)u(1,+

8).

解：集合3的范围是如图所示的正方形ABC。，

因为AU5且/(x)=〃无实数解，

则〃的取值范围为：或“V-1,

即为(-8,-1)U(1,+8),

故答案为：（-8,-1）U（1,+°°）.

13.如果那么下列不等式中正确的是()

A,-B.a2<b2C.a3<Z?3D.ab>b2

解：•.Z<O<b,函数y=x3在R上单调递增，

a3<b3.

故选：C.

14.函数/(x)=x-3+d的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,+8)

解：根据函数无)=尤-3+d的解析式，

所以f(0)=0-3+1=-2<0,

/(1)=1-3+e>0,

f(3)=3-3+e3>0,

f(4)=4-3+e4>0,

所以/(0)•/(：!)<0,故函数的零点所在的区间为(0,1).

故选：A.

1,1)上的偶函数，且无)在［0,1)上是严格减函数，f(蒋)=1，

15.设“尤)是定义在(-

则/(x)<1的解集为()

A.1)B.(-1，~y)

c.(T,-y)U(y»1)D.(-1，-y]U[y>D

1)上的偶函数，且f(4)=1，

解：根据题意，/(X)是定义在(-1,

则f(X)<］=/(因)</母，

则/⑴尤|)</(-^)^<k|<l,

又由/(x)在［0,1)上是严格减函数,

解可得：-1＜尤＜-£或£＜无＜1,

即不等式的解集为(-1,-百)u(-1,1),

故选：C.

(X为无理数

.定义D(X)='0,4士丁用秋，及印表示不大于无的最大整数，存在函数/(X)满

[1.X为有理数

足，对任意的尤CR都有()

A.f([x])=D(x)B./([x])=x2+x

C.f(x2+l)=|x+l|D.f(x2+4x)=\x+2\

解：A.当％=1时，/([I])=f(1)=D(1)=1,

当时，/([&])=/(D=D(、历)=0,则与/(I)=1矛盾，故A错误；

B.当x=l时，/([1])—f(1)=1+1=2,

当尤=&时，/([&])=/(D=(V2)2+&=2+&,则与/(I)=2矛盾，故8错

误；

C.当x=l时，f(2)=2,当尤=-1时，/(2)=0,则与/(2)=2,矛盾，故C错

误；

D.设f=|x+2|,则由/(N+4X)=年+2|得力(尤+2)2-4]=|x+2|,

即/(P-4)=t,'.f(x)=7x+4,故。正确.

故选：D.

17.判断函数丫=犬-工，xe(0,+8)的单调性并说明理由.

X

解：根据题意，函数y=x-工在(0,+8)上递增,

X

证明：设/(x)=X--,设0Vxi<X2,

X

1

则/(»)-f(X2)=(XI-------)-(X2--------)=(XI-X2)(1+)，

Xx1xXn2xlx2

又由0VxiV%2,则/(xi)-f(X2)<0,

故函数y=x-工在(0,+8)上递增.

18.已知aV2,Z?eR,f(x)=N-2/?x+l,xE[a,2].

(1)当Z?=0时，求函数y=/(x)的最小值；

(2)当〃=0时，求函数y=/(x)的最大值.

解：(1)当Z?=0时，f(x)=x2+LxE[a,2],

右〃W0,f(%)min=1；

若0<tz<2,f(x)min=a^+l.

(2)当〃=0时，f(x)=x2-2to+l,xG[0,2],

其对称轴方程为1=。，

若6W1,/(x)3=于⑵=5-4b；

若匕>1时，f(X)max=l.

19.设/（x）=一个（八人为实常数）.

2X1+b

（1）当a=b=l时，证明：y=f（x）不是奇函数；

（2）当a=-l,6=-2时，判断并证明函数＞=/（无）的奇偶性.

1-2、

【解答】（1）证明：当。=6=1时，/（无）

l+2x+1

l-2-x1-2X1_1

则/……⑺23=⑵"(2+2“1+2浒1,

2、-1

=(2—)=0不恒成立,

(2+2x)(l+2x1-1)

故/（-无）=-f（x）不恒成立,

i-2x

故/（尤）不为奇函数，

1+2X1

-2*-1

(2)当a—-1,b=-2时，/(尤)为奇函数，证明如下:

2x+1-2

j.,、，.、-2x_1_2X-1

因m为/(-x)+f(x)-+--7—

2-22-2

-1-2*।-2*-l

2-2x+1+2x+1-2'

1+2*।-2X-1

2x+1-2+2x+1-2'

=0,

故/(-x)=-f(x),

所以/(无)为奇函数.

20.已知/(尤)=log2(x+1).

(1)若0</(l-2x)-/(%)<1,求x的取值范围；

(2)若关于x的方程/(4%)-x+m=0有解，求实数机的取值范围.

解：(1)函数/(x)=log2(1+1),则f(l-2x)-/(x)=log2(1-2x+l)-log2(%+1)

'l-2x>0

由2尤)-/(无)<1,可得卜+1>°,解得0<x<《

1〈23

Ix+1

所以尤的取值范围为(0,4)；

(2)方程/(4工)-x+«t=0有解等价于(4*)=x-log2(4A,+1)有解，

X

4"g(x)=x-log?(4+1),则g'(x)=l---f"4-=］_2*4,

“(4x+l)ln24X+1

令g'(x)=0,解得x=0,

当尤<0时，g'(x)>0,故g(x)单调递增，

当x>0时，g'(无)<0,故g(x)单调递减，

所以g(尤)的最小值为g(0)=0T