2020-2021学年广东省汕头市潮南区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省汕头市潮南区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设集合A={x|x+120},B={x\x2+2x-15<0,xGZ],则4nB=()

A.{-1,04,2}B.{-1,2,3)C.[1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5)

2.已知实数4B,C满足ABC羊0,则“ABC>0”是“方程A/+By2=c表示的曲线为椭圆”

的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

3.命题“△ABC中，若乙4>NB,则a>b”的结论的否定应该是()

A.a<bB.a<bC.a>bD.a>b

4.函数〃%)=/。93刀一弓尸一2的零点所在区间为()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

5.如果函数y=f(x)在区间/上是增函数，且函数y=芋在区间/上是减函数，那么称函数y=/(%)

是区间/上的“缓增函数”，区间/叫做“缓增区间”.若函数/Q)=/一4x+5是区间/上的

“缓增函数”，则“缓增区间”/为()

A.[2,+00)B.[2,V5]C.[0,V5]D.[0,2]

6.已知角a的终边过点P(-L-2),则VT—sin2a=()

A.一些B.渔C3遥D,2

5555

7.函数/'(%)=(sinx+cos%)2+cos2x的最小正周期为()

A.47rB.37rC.27rD.n

8.函数f(X)=*在区间[2,5]上的最大值与最小值的差记为息ax-min，若/max-min+a2-2a<0

恒成立，贝Ua的取值范围是()

A.[i,|]B.[1,2]C.[0,1]D.[1,3]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.若集合4={%|a/-2x-1=0}恰有两个子集，则a的值可能是()

A.0B.-1C.1D.。或1

10.若函数f(x)•仇无在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质,下列函数中所有具有M

性质的函数为()

A./(%)=；B./(x)=x-lC./(x)=D./(x)=ex

11.如图，棱长为1的正方体力BCO-中，M为线段上的动

点(含端点)，则下列结论正确的是()

A.平面8cM_L平面4遇当

B.三棱锥B-MBiC体积最大值为［

O

C.当M为4%中点时，直线81D与直线CM所成的角的余弦值为产

D.直线CM与所成的角不可能是3

%2—4%+2,%30

小%+1，若函数9。)=/(%)-m恰有3个零点，则m的取值可能为

{，久<U

()

A.73B.1C.2D.2

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知有3个基函数的图象如图，其中它们的指数来源于集合{则其指数从(a)

到(e)依次为

14.已知a是第二象限角，化简tcma---1=_____.

7sinza

15.定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x+2)=/(x),且/(x)在［-3,-2］上单调递减，又a,。是

锐角三角形的两内角，则/(sina)与/(cos0)的大小关系是.

16.已知求函数y=4x—2+W的最小值是

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分)

17.⑴已知tana*,求2s…二+皿2a的值;

(2)化简tan(rr-a)cos(2兀-a)sin(-a+^Tr)

cos(-a-7r)sin(-7r-a)

18.已知命题p：方程M+rnx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4/+4(m+2)x+1=0

无实数根.

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)若q为真命题，求小的取值范围；

(3)若“p或q”为真命题，求m的取值范围.

19.(本题满分10分)

□的最大值为2,其图像相邻的两条对称轴之间的距离为0,且过点0.

S

20.若函数/'(X)定义域为R,且对任意实数%,x2,有/(与+上)<〃/)+/(%2)，则称为“V形

函数”，若函数g(x)定义域为R,函数g(x)>0对任意xeR恒成立，且对任意实数%2,有

lg[5(x1+x2)]<lg[5(%1)]+电[9(小)]，则称为“对数U形函数”.

(1)试判断函数f(x)=%2是否为“V形函数”，并说明理由；

(2)若g(x)=(勺x+a是“对数U形函数”，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)是“V形函数”，且满足对任意x€R,有/(x)>2,问/Q)是否为“对数U形函数”？证

明你的结论.

21.如图，现要在一块半径为r(r>0),圆心角为60。的扇形纸板POQ上剪

出一个平行四边形0ABe，使点B在弧PQ上，点4在半径OP上，点C在

半径OQ上.

(1)求S关于a的函数关系式;

(2)求S的最大值及相应的a值.

22.已知函数/(x)=寤是奇函数，且/⑵=|.

(1)求实数a,b的值；

(2)判断函数”乃在上的单调性，并用定义加以证明.

参考答案及解析

I.答案：A

解析：解：A=[x\x+1>0}={x|x>-1}.

B=+2,x-15<0,x6Z}{-4,-3,一2,—1,0,1,2),

则Ans={-1,0,1,2},

故选：A.

解不等式分别求出A,B,求出4,B的交集即可.

本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题.

2.答案：D

解析：解：若方程A%2+By2=c表示的曲线为椭圆，

%2y2

则椭圆的标准方程为：式+卷=1,

AB

贝吟>0,£>0,”2

%>0p<0

即.B>。或<0

C>0-乂[C<0'

故"ABC>0”推不出“方程4/+By2=C表示的曲线为椭圆”，

“方程A/+By2=C表示的曲线为椭圆”推不出“力BC>0”，

.•・实数"ABC>0”是“方程+By2=C表示的曲线为椭圆的非充分非必要条件.

故选：D.

首先求出方程4/+By2=。表示的曲线为椭圆的等价条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来

判断.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

3.答案:B

解析：解：由题意可知：命题“△力BC中，若乙4>/B,则a>b”的结论的否定应该是：aWb.

故选：B.

直接利用命题的否定，写出经过即可.

本题考查命题的否定，基本知识的考查.

4.答案:B

解析：解：函数的定义域为(0,+8),易知函数在(0,+8)上单调递增，

•."(2)=log32-l<0,-3)=log33-1>0,

・•・函数/'(x)的零点一定在区间(2,3),

故选：B.

确定函数的定义域为(0,+8)与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论.

本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题.

5.答案：B

解析：

本题主要考查了二次函数的单调区间的求解及对勾函数单调区间的求解，属于基础试题.

分别结合二次函数及对勾函数的单调性求出满足条件的单调区间即可.

解：由题意可得，/。)=%2一4%+5的对称轴为久=2,其单调递增区间为［2,+8),

又？=号=*+9一4,根据对勾函数的性质可知单调递减区间为(0,遮］和［一花,0).

综上可得，满足条件的“缓增区间”/为［2,遮］.

故选:B.

6.答案：B

解析：解：,••角a的终边过点P(—1,—2),二cosa=sina=—

则“-sin2a=V1—2sinacosa=Jl-2•(一手)•(—y)=寻

故选：B.

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sina、cosa的值，再利用二倍角的正弦公式求得要求式

子的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题.

7.答案：D

解析：

本题考查正弦函数的性质及三角函数的和差角公式，属于基础题，具有综合性；

解：函数f(%)=(sinx+cos%)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=14-V2sin(2x+^),

:.T="=

2

故选。.

8.答案：A

解析：

本题考查了函数恒成立问题，考查求函数的最值问题，属于基础题.

求出“X)的单调性，计算/(x)的最值，问题转化为。2-2a+,SO恒成立，解出即可.

解：/。)=喜=1+£在区间［2,5］上单调递减，

-f(x)max=/(2)=2,f(x)min=-5)=

fmax-min+十一2@40恒成立，

即4-2a+<0恒成立，

解得：|<a<|.

故选：A.

9.答案：AB

解析：

本题考查了集合的子集个数，属于基础题.

恰有两个子集的集合只有一个元素，进而求解.

解：集合A恰有两个子集，则集合4中只有一个元素，

当a=0时，4=｛一｝，满足题意；

当a。。时，△=4+4Q=0,即a=—1,此时A=｛—1｝,满足题意；

故a的值为0,-1.

故选：AB.

10.答案:AD

解析：解：根据题意,设9(%)=/(%)•%

对于4/(%)=｝贝=等，其定义域为(0,+8),易得f(x).x在(0,+8)上为增函数，符合

题意；

对于8,/(x)=x-1,则%-1)1%,其定义域为(0,+8),有g'(%)=+?,

在区间(0,1)上，g'(x)<0,函数/'(x)为减函数，不符合题意;

对于C,/(%)=则/(%)=膏，其定义域为(0,+8),有g(x)=£+贤=*(：-)为，

在区间(e,+8)上，g'(x)<0,函数/(x)-x为减函数，不符合题意；

对于D,/(%)=ex,则/'(x)=e3nx,其定义域为(0,+8),有g(x)=靖》》+?=e*(7nx+：),

都有g'(x)>0,/(x)在(0,+oo)上为增函数，符合题意；

故选：AD.

根据题意，设g(x)=f(x)“，结合选项中的函数，依次分析g(x)=f(x)，的单调性，综合即可得

答案.

本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与单调性的关系，属于基础题.

11.答案:ABC

解析：解：在正方体48。。一48停1。1中，

8。_!_面4遇“，BCu面BCM,

.•.面BCM_L面力遇”，

故选项A正确；

设M到面B&C的距离为九，

%-MBiC==§XyXlXlX/l=w/l，

当M点运动到线段4当的端点4时，h最大，且距离为1.

二三棱锥B-MB]。的体积最大值为g

O

故选项8正确；

如图，将4/1延长至E,使4/i=BiE,连ME,CE,

易得B]D〃CE,

•••直线CM与直线CE所成角即为直线殳。与直线CM所成的角，即ZMCE,

易得|MC|=乎,\CE\=V3，\ME\=^.

|MC『+|CE『一|ME|2_V2

・••cosZ-MCE=

2\MC\\CE\一3

故选项C正确;

,:AM/BiC,

・・・直线CM与直线所成角就是匕MCBi，

当M从点81沿着线段当4向4点运动时，4MCBi逐渐变大,

：•/Big==三>%

故在点4和点当之间，必定存在一点使得NMCBi=：,

故选项。错误.

故选：ABC.

4选项中，直接由正方体的性质证明即可：

B选项中将求体积的最大值转化为求M到面BB】C的距离的最大值即可；

C,。选项可利用平行四边形的方法，将异面直线夹角转化为求相交直线夹角即可；

本题考查了空间中面面垂直的判定，三棱锥的体积，以及异面直线所成的角，属于中档题.

12.答案：BC

解析：

本题考查了函数的零点与函数图象的关系，属于中档题.

作出f(x)的函数图象，根据图象判断m的值.

解：g(x)恰好有3个零点，

等价于/(x)=m有三个不等实根，如图，

作出y=/(%)的图象，可得当［<mW2时，/(x)的图象与y=m有三个交点.

故选：BC.

13.答案：|,-|155

2'2’2

解析：解：由图象可知：(a)、(b)为偶函数，且9)的定义域为R,(b)的定义域为口|X。0},故(a)的

指数是|,(b)的指数是一|.

对于(d)：函数定义域为［0,+8)具有单调递增，且不具有奇偶性，因此其指数应为(不是|.

对于(c)、(e),定义域都为(0,+8),都单调递减，但是(e)递减的较快，因此指数分别一:，-|.

综上可知：其指数从⑷到(e)依次为:,一|,—：,|,一|；

故答案为|,一|15_5

2'2’2

利用函数的定义域、奇偶性、单调性即可得出.

本题考查了函数的性质、数形结合等基础知识与基本方法，属于基础题.

14.答案：—1

蜘+二/1y,/l-sin2a人cos2asina.cosa.

解析：解：tana——1=tana/———=tanaI.=-----------，

y]sinzay]sin2a\sinz9acosasina

•・•a是第二象限角，・•.s讥a>0,cosa<0,

sina=y]2stnpsina.cosasina-cosa

・•・原式=

V3cosa=J2cos/?cosasina

故答案为：—1

由题意，根据象限三角函数的符号，直接化简表达式，求出最简结果.

本题是基础题，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，推理能力.

15.答案：/(sina)>/(cos/?)

解析:因为f(%+2)=/(%)=>fQ)的周期为2,所以/(%),%W的单调性与［一3,-2］一致，单

调递减，又f(x)是偶函数，所以在［0,1］上单调递增.又a,£是锐角三角形的两个内角，所以邈<a+

1

械F炭q

/?<7r=>0<^--0Va<J=1>sina>sinI——静।=cos/?>0=>/(sina)>/(cos0).

售辑1

16.答案：5

解析：

本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.

变形利用基本不等式的性质即可得出.

4

A4%—5>0.

••・函数y=4x-2+—=(4%-5)7+—+3>2(4x-5)­—+3=5，当且仅当4x-5=1,

了4x-5'4x-59,4x-5

即x=I时取等号.

.1函数y=4x-2+的最小值是5.

故答案为：5.

17.答案：解：(1)•；tana=%

.原式-sin2a+cos2a_tan2a+l___5

、2sinacosa+cos2a-sin2a2tana+l-tan2a2X-+1--7,

39

tan(7r-a)cos(27r-a)sin(-a4-|7r)-taziacos(-a)sin(a+声)^^cosa

(2)-------------------------------------=------=-1,

cos(-a-7T)sin(-7r-a)-cosasina-sina

解析：(1)所求式子分子“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简为siMa+cosZa,分子分母除

以cos2a化简，将tcma的值代入计算即可求出值.

(2)直接利用诱导公式化简表达式，通过同角三角函数的基本关系式化简即可得到结果.

本题(1)考查了三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，(2)考

查诱导公式的应用，考查计算能力.

18.答案：解：(1)•.・方程/+mx+1=0有两个不等的正实数根，

f-->0„

(△=/—4>0

・•・若p为真命题，的取值范围是m<-2；

(2)•.•方程4/+4(m+2)x+1=0无实数根.

16(m+2产-16<0=>—3<m<—1,

二若q为真命题，m的取值范围是-3<zn<-1；

(3)若“p或q”为真命题，由复合命题真值表得：命题p、q至少一个为真，

•1•m的取值范围是(一3,—1)U(2,+8).

解析：(1)借助一元二次函数图象，分析命题p为真的等价条件，求出m的范围；

(2)解不等式4=16(m+2产-16<0可得答案；

(3)若“p或q”为真命题，由复合命题真值表得：命题p、q至少一个为真，求(1)(2)的并集即可.

本题借助考查复合命题的真假判定，考查了一元二次方程根的判定，本题的关键是求命题p、q为真

时m的范围.

19.答案：解：

(I)函数/"(x)=Asin(a)x+0)的最大值为2,结合已知条件4>0,

・・•/=2，

•一

又•.・函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为二，

2

二周期T=7T,

...国

:./(%)=2sin(2x+*),

丁

由/(%)=2sin(2x+乎)过点—：0),

11

sin(g-9=0n0，=左洛旌Z

66

•.•0<??<—

元

：.§=■一.

6

(口)由(1)可得，X(x)=2sin(2x4--),

6

故解)=20酗23J)=l

6

小

：.8=三

6

又a=2,c=3,

由余弦定理得+c，-OGCCOSS=13-，

解得力=J13—6J5-

解析：本题考查由y=4sin(3x+(p)的部分图象确定其解析式，考查了余弦定理的应用.

(I)依题意得A=2,T=n,3=2,结合函数图象过点0,即可求得*值；

(H)先由/(B)=2求得B,再由余弦定理即可求得b的值.

20.答案:解：⑴•.•函数f(x)=)2,

•••y(xi+x2)=(%+，/(无力+y(x2)=+%2>

当41、乂2同号时，(X1+乂2)2>就+据，不满足+X2)<fQi)+/(%2)，

二函数/'(X)=/不是形函数”；

(2)若g(x)=G)x+a是“对数U形函数”，

则9(x)=(|)z+a>0恒成立，

a>0,

根据题意,g(%i+不)vg(%i)•g(%2)恒成立，

即C)z+X2+a<[(｝右+a][©尸2+甸，

去括号整理得a>1—[©尸1+(1)^],

a>1；

(3)若/。)是形函数”，且满足对任意％GR,有/(久)>2,

则/(X]+X2)</,(%1)+/(x2)>

••"(Xi)>2,

•1•/'(%1)­1>1,同理/'(刀2)-1>1>

[/(Xj-l][/(X2)-1]>1.去括号整理得f(Xi)f@2)>/(/)+f(X2)，

.•./(%!+X2)</(X1)/(X2),

即lg[/(Xi+%2)]<lg[/(Xa)]+Ig[/(X2)],是“对数U形函数”•

解析：(1)根据形函数”的定义，结合函数f(x)=i,判断可得函数/(%)=/不是“1/形函数”

x

(2)若g(x)=©尸+a是“对数V形函数”，则g(x)=(1)+a>0恒成立，结合g(x1+x2)<。(与)•

g(》2)恒成立，可得实数a的取值范围；

(3)若f(x)是“V形函数”，且满足对任意xWR,有f(x)>2,则/(X1+X2)</(/)+/(犯)，即

lg[/(Xl+%2)]<lg[/(%l)]+lg[/(X2)])是“对数V形函数”

本题考查的知识点是函数恒成立问题，正确理解新定义形函数”，是解答的关键.

21.答案:解:(1)过点B作10P于M,

则8M=rsina,OM=rcosa,

V3

0A=