2024年中考数学二模试卷（天津卷）（全解全析）

年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【答案】B【解答】解：2×（﹣）＝﹣1．故选：B．2．估计的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜＜4．故选：C．3．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：从前面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选：A．4．汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．5．今年是共建“一带一路”倡议提出10周年，也是构建人类命运共同体理念提出10周年．2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（）A．38×1010 B．3.8×1011 C．0.38×1012 D．3.8×1012【答案】B【解答】解：3800亿＝380000000000＝3.8×1011．故选：B．6．计算+|﹣2|×cos45°的结果，正确的是（）A． B．3 C．2+ D．2+2【答案】B【解答】解：原式＝2+2×＝3．故选：B．7．化简的结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝．故选：C．8．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】C【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝2，y2＝＝6，y3＝＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．9．如果x1＝a，x2＝b是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，则的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】D【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝﹣4，∴＝＝﹣．故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．120 B．60 C．45 D．30【答案】D【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，故选：D．11．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形；③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①【答案】A【解答】解：设AF交BC于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK＝90°，∴∠KAB+∠AKB＝90°，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB＝∠BCG，∵∠AKB＝∠CKF，∴∠BCG+∠CKF＝90°，∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CG，∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GF＝CG，∴CF＝FG，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．12．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：①AB＝24m；②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【解答】解：①观察图形可知，AB＝30m，故①错误；②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，将（15，0）代入，可得a＝，故抛物线的解析式为y＝x2﹣5；故②正确；③∵y＝x2﹣5，∴当x＝12时，y＝﹣1.8，故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），故③错误；④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，将x＝6代入y＝x2﹣5，得y＝﹣4.2，可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），即为原来的，故④正确．故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为．【答案】【解答】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为．故答案为：．14．计算：（﹣5a3b）2＝．【答案】25a6b2【解答】解：（﹣5a3b）2＝（﹣5）2•（a3）2•b2＝25a6b2，故答案为：25a6b2．15．计算的结果等于．【答案】10【解答】解：原式＝＝16﹣6＝10．故答案为：10．16．将直线沿y轴向下平移2个单位，平移后的直线与y轴的交点坐标是．【答案】（0，4）【解答】解：将直线沿y轴向下平移2个单位，得到直线的解析式为：y＝x+6﹣2＝，当x＝0，则y＝4，∴平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，4）．故答案为：（0，4）．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC至点D，使BD＝12，E为边AC上的点，且AE＝4，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ的长为．【答案】2【解答】解：如图，连接AD，取AD的中点F，连接PF、QF，∵P，Q分别为AB，ED的中点，∴PF是△ABD的中位线，QF是△ADE的中位线，∴PF＝BD＝×12＝6，PF∥BD，QF＝AE＝×4＝2，QF∥AC，∵∠ACB＝90°，∴∠PFQ＝90°，∴PQ＝＝＝2，故答案为：2．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．（1）AB的长等于；（2）M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN．当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】（1）（2）略【解答】解：（1）AB的长＝＝．故答案为：．（2）第一种情况：如图1点P即为所求作．由题意，＝＝2，∴MN∥PC，MN＝PC，∴当PC是直径时，MN的值最大，取格点T（构造∠TBC＝90°），连接BT交△ABC的外接圆于点P；第二种情况：如图2点P即为所求作．取格点T（构造∠TBC＝90°），连接BT交△ABC的外接圆于点P；故答案为：取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P．三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）解不等式4（x+1）≤7x+7，得：x≥﹣1，（2）解不等式﹣＜1，得：x＜2，（3）把它们的解集在数轴上表示如下：（4）原不等式组的解集为﹣1≤x＜2．20．（8分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的家庭个数为50，图1中m的值为20；（2）调查的这些家庭月均用水量的众数是6t，中位数是6t；（3）求调查的这些家庭月均用水量的平均数．【解答】解：（1）本次接受调查的家庭个数为：8÷16%＝50（个）；m%＝×100%＝20%，即m＝20；故答案为：50，20；（2）∵6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是6t；将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，∴这组数据的中位数是6t．故答案为：6t，6t；（3）这组月均用水量数据的平均数是×（5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×4）＝5.9（t），21．（10分）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，∴AE＝DE＝30（m），∵AB＝60m，∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，∴∠DCF＝∠CDG＝37°，在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），∴BC＝EF＝24m，∴教学楼BC的高度约为24m．22．（10分）如图：已知⊙O的直径AB＝10，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，P是半径OA上任一点，过点P作PE⊥AB分别交AC，CF于D，E两点．（1）如图1，当P与圆心O重合时，①求证：ED＝EC；②若∠A＝30°，求图中阴影部分的面积；（2）如图2，连接AE，当AE⊥CF时，AE交于⊙O点N，AN＝6，求EN的长度．【解答】证明：（1）①∵CF为⊙O的切线，OC为半径，∴OC⊥CF，即∠FCA+∠OCA＝90°，∵PE⊥AB，∴∠A+∠ODA＝90°，∴∠FCA＝∠ADO，∵∠ADO＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE；②当∠A＝30°时，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠COE＝90°﹣∠BOC＝30°，∴，∵直径AB＝10，∴半径OC＝5，根据勾股定理得，CE2+CO2＝OE2，即CE2+CO2＝2CE2，CE2+52＝2CE2，解得CE＝，∴S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形OCD＝×5×﹣＝﹣＝；（2）如图2，过点O作OH⊥AN，垂足为H，则AH＝HN＝AN＝3，∵OC⊥CF，AE⊥CF，OH⊥AN，∴四边形OCEH是矩形，∴EH＝OC＝AB＝5，∴EN＝EH﹣NB＝5﹣3＝2．23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、体育馆、图书馆依次在同一条直线上．小明从家出发，匀速骑行0.5h到达体育馆：在体育馆停留一段时间后，匀速骑行0.4h到达图书馆：在图书馆停留一段时间后，匀速骑行返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离ykm与离开家的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：小明离开家的时间/h0.10.21.82.22.8小明离开家的距离/km1.26（Ⅱ）填空：①体育馆与图书馆之间的距离为km；②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为km/h；③当小明离开家的距离为5km时，他离开家的时间为h．（Ⅲ）当2≤x≤4时，请直接写出y关于x的函数解析式．【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，①在前0.5h的速度为6÷0.5＝12（km/h），故当x＝0.2时，小明离开家的距离为0.2×12＝2.4（km），当2＜x≤2.4时，速度为＝5（km/h），∴当x＝2.2时，y＝6+5×0.2＝7（km），在2.4＜x≤3.5时，距离不变，都是8km，故当x＝2.8时，小明离开家的距离为8km，故答案为：2.4；7；8；（Ⅱ）由图象可得，①体育馆与图书馆之间的距离为2km，故答案为：2；②小明从体育馆到图书馆的骑行速度为：（8﹣6）÷（2.4﹣2）＝5（km/h），故答案为：5；③当0≤x≤0.5时，小明离家的距离为5km时，小明离开家的时间为5÷12＝（h），当3.5≤x≤4时，小明离家的距离为5km时，小明离开家的时间为3.5+（8﹣5）÷[8÷（4﹣3.5）]＝（h），故答案为：或；（Ⅲ）由图象可得，①当2≤x≤2.4时，设y＝kx+b，，解得，∴y＝5x﹣4；②当2.4＜x≤3.5时，y＝8，③当3.5＜x≤4时，设y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣16x+64；由上可得，当2≤x≤4时，y关于x的函数解析式是y＝．24．（10分）如图，等腰直角△OEF在坐标系中，有E（0，2），F（﹣2，0），将直角△OEF绕点E逆时针旋转90°得到△ADE，且A在第一象限内，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，E．且2a+3b+5＝0．（1）求抛物线的解析式．（2）过ED的中点O′作O′B⊥OE于B，O′C⊥OD于C，求证OBO′C为正方形．（3）如果点P由E开始沿EA边以每秒2厘米的速度向点A移动，同时点Q由点A沿AD边以每秒1厘米的速度向点D移动，当点P移动到点A时，P，Q两点同时停止，且过P作GP⊥AE，交DE于点G，设移动的开始后为t秒．①若S＝PQ2（厘米），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围？②当S取最小时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，A，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）E（0，2），F（﹣2，0），由旋转的性质得点A（2，2），将点A、E的坐标代入抛物线表达式并整理得：2a+b＝0，而2a+3b+5＝0，将上述二式联立并解得：a＝，b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵O′B⊥OE，O′C⊥OD，∴∠O′BO＝∠O′CO＝90°，又∵∠EOD＝90°，∴四边形OBO′C为矩形，O′是ED的中点，O′B⊥OE，则O′B＝OD，O′C⊥OD，同理O′C＝OE，而OE＝OD，故O′B＝OC′故OBO′C为正方形；（3）①点P、Q的坐标分别为：（2t，2）、（2，2﹣t），S＝PQ2＝（2t﹣2）2+（t）2＝5t2﹣8t+4（0＜t≤2）；②S＝5t2﹣8t+4（0＜t≤2）；∵5＞0，故S有最小值，此时t＝，则点P、Q的坐标分别为：（，2）、（2，），而点A（2，2），设：点R（m，n），n＝m2﹣m+2；（Ⅰ）当AP是边时，点P向右平移个单位得到A，同样点Q（R）向右平移个单位得到R（Q），即2＝m，解得：m＝或，故点R（，）或（，）；（Ⅱ）当PA是对角线时，由中点公式得：2+＝m+2，解得：m＝，故点R（，）；综