数字信号处理ch4

第四章线性时不变离散时间系统在变换域中的分析Frequency-domainRepresentationofLTIDiscrete-TimeSystems4.1有限维线性时不变离散时间系统LTIDiscrete-TimeSystemsintheTransformDomain线性时不变系统在变换域的输入输出关系：线性时不变系统常用差分方程表示即：如果z=rejw，则4.2频率响应TheFrequencyResponse4.2.1定义系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的变换称作系统频率响应。h[n]x[n]

y[n]对于线性移不变系统：也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。H(ej

)=Hre(ej

)+jHim(ej

)H(ej

)是w的一个周期为2π的复函数即其中

()=argH(ej

)|H(ej

)|是幅度响应，

()是相位响应注意：尽管频率响应是w的复函数，但幅度和相位函数都是w的实函数幅度函数也可以用分贝这种单位定义：G()=20log10|H(ej

)|dB其中G(w)称为增益函数，而A()=-G()A()称为衰减或损益函数例：求是下式所示的滑动平均滤波器的频率响应P235-4.6：一个非因果线性时不变有限冲激响应离散时间系统用冲激响应h[n]=a1δ[n-2]+a2δ[n-1]+a3δ[n]+a4δ[n+1]+a5δ[n+2]描述，什么样的冲激响应样值可使它的频率响应H(ej)具有零相位？P235-4.8：一个有限冲激响应线性时不变离散时间系统用差分方程y[n]=a1x[n+k]+a2x[n+k-1]+a3x[n+k-2]+a2x[n+k-3]+a1x[n+k-4]描述，其中y[n]和x[n]分别表示输出和输入序列。求频率响应。当k=？时，系统将有一个为ω的实函数的频率响应。4.2.5滤波的概念TheConceptofFiltering线性时不变离散时间系统的一个应用就是数字滤波器。滤波的关键是：它将任意一个输入序列表示为无限个序列的线性加权和，或等效为正弦序列的加权和。因此，通过选择适当的|H(ej

)|

，可以有效的将其中的一些频率分量大幅度的衰减或滤除。设线性时不变系统的幅度函数为：将输入x[n]=Acos

1n+Bcos2n,0<1<c<2<输入该系统，则输出y[n]为：当则输出为因此，该线性时不变系统为一个低通滤波器。例：设计一个高通滤波器，它是一个长度为3的FIR滤波器。如果输入信号有角频率分别为0.1弧度/抽样和0.4弧度/抽样的两个余弦序列组成，求其输出y[n]。由于滤波器设长度为3的FIR滤波器，所以

h[0]=h[2]=a,h[1]=b则该滤波器的差分方程为：y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+h[2]x[n-2]=

x[n]+x[n-1]+

x[n-2]选择合适的滤波器参数a和

b，使输出为一个角频率为0.4弧度/抽样的余弦序列则滤波器的幅度和相位函数为

|H(ej

)|=2cos+()=-由于是设计高通滤波器，所以

|H(ej0.1)|=2cos(0.1)+=0|H(ej0.4)|=2cos(0.4)+=1故=-6.76195=13.456335因此y[n]=-6.76195(x[n]+x[n-2])+13.456335x[n-2]其中x[n]={cos(0.1n)+cos(0.4n)}[n]4.2.6相延迟和群延迟PhaseandGroupDelays对于一个频率响应为H(ej

)的具有频率选择特性的线性时不变离散时间系统，其输出y[n]相当于输入x[n]有一定的延时，因为系统是非零相位响应

()=arg{H(ej

)}

。如果输入为在则输出该式子表示一个延时，即在

=0的相延迟让频率为

c的低频正弦信号被载波频率为

0的抑制载波双边带(DSB-SC)调制，得到离散时间信号x[n]：

l=

c-

0，

u=

c+

0即输出为如果由上式知，输出的两个分量相当于输入的两个分量仍然有不同的相位滞后。由于调制输入是一个窄带信号，其中频率

l

和

u

非常接近载波频率

c

和

0

,则载波分量的时间延迟调制分量的时间延迟参数称为

=c处系统带来的群延迟或包络延迟群延迟groupdelay

：群延迟是相位函数的线性性质的度量，它表示基本连续时间信号的波形之间的时延，而连续信号经过t=nT时的抽样，恰好是输入和输出离散时间信号。一个调制输入信号及其通过一个线性时不变系统后所产生的输出信号波形。4.2.7线性时不变离散时间系统的频域特性FrequencyResponseoftheLTIDiscrete-TimeSystem如果X(ejw)=DTFT{x[n]}，Y(ejw)=DTFT{y[n]}则系统的频率响应为4.3传输函数TransferFunction4.3.1定义h[n]x[n]

y[n]则输入和输出的可用卷积和来描述即因此，Y(z)=H(z)X(z)

那么传输函数H(z)的逆z变换产生线性移不变系统的单位抽样响应h(n)

H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。传输函数transferfunction/系统函数systemfunction4.3.2传输函数表达式的推导所以因为对于因果的FIR滤波器，它所有的极点在z平面的原点，故它的收敛域是除了z=0以外的整个z平面对于IIR滤波器，传输函数的表达式通常是一个无限序列。所以或

1,2,…,

M

是H(z)的有限个零点,

1,2,…,

N是H(z)的有限个极点如果N>M

，则在z=0处有(N-M)个零点；如果N<M

，则在z=0处有(N-M)个极点；因此，H(z)的收敛域（ROC）为：例：求滑动平均滤波器的传输函数4.3.3基于传输函数的频率响应如果H(z)的ROC包含单位圆，那么对于实系数传输函数H(z)有：对于一个稳定的有理传输函数，频率响应的因式分解可以通过z=ejw代换得到其中(z-

k)为零点因式，(z-

k)为极点因式。其幅度函数：4.3.4频率响应计算的几何解释4.3.5用极点位置表示稳定条件我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h[n]必须满足绝对可和：

∑|h[n]|<∞。z变换H(z)的收敛域由满足∑|h[n]z-n|<∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑|h[n]|<∞，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 设输入序列是频率为ω的复指数序列，即h[n]绝对可和，则系统稳定，那么存在且连续因果系统的单位抽样响应为因果序列，

其收敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1≤|z|≤∞，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。[例]设一阶系统的差分方程为:

[解]:

对差分方程两边取Z变换:

，a为实数,求系统的频率响应。这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:0112345678n零极点分布情况-10a10ωω0研究一个具有下列系统函数的线性移不变因果系统式中a为实数。（1）a值在哪些范围内系统是稳定的？（2）如果0〈a〈1，画出极点-零点图，并将收敛域画上斜线。（3）在z平面上用图解法证明该系统是一个全通系统，即频率响应幅度是一个常数。解a1/aopQA系统的频率响应系统的幅度响应有系统的零点到单位圆上有关矢量长度的乘积除以极点到单位圆上同一矢量长度的乘积而得到。4.4传输函数的类型TypesofTransferFunctions4.4.1理想滤波器IdealFilters通带：频率响应取值为1的频率范围。阻带：频率响应取值为0的频率范围。实冲激响应系数的理想滤波器的四个典型频率响应：由低通滤波器的频率响应HLP(ej

)推出它的冲激响应：hLP[n]=sincn/n,-<n<4.4.2零相位和线性相位传输函数x[n]v[n]u[n]w[n]H(z)H(z)u[n]=v[-n],y[n]=w[-n]零相位滤波方案实现之一为了使数字滤波器在通带内不会使输入信号的相位发生失真，采用一种方法是用零相位滤波器X(ej

),V(ej

),U(ej

),W(ej

)

和Y(ej

)

是

x[n],v[n],u[n],w[n]和y[n]的DTFT。V(ej

)=H(ej

)X(ej

),W(ej

)=H(ej

)U(ej

)

U(ej

)=V*(ej

),Y(ej

)=W*(ej

)联立上面的方程，得Y(ej

)=W*(ej

)=H*(ej

)U*(ej

)

=H*(ej

)V(ej

)=H*(ej

)H(ej

)X(ej

)=|H(ej

)|2X(ej

)因此，它实现一个频率响应为|H(ej

)|2的零相位滤波器x[n]v[n]u[n]w[n]H(z)H(z)u[n]=v[-n],y[n]=w[-n]频率响应：H(ej

)=e-jD它从w=0到w=2π有一个线性相位响应注意：|H(ej

)|=1

()=D线性相位滤波器：对于输入为x[n]=Aejn其输出为：

y[n]=Ae-jDejn

=

Aej(n-D)若xa(t)和ya(t)是连续时间信号，它在t=nT处抽样后为x[n]和y[n]，则xa(t)和ya(t)之间的延迟正好是数量为D的群延迟。故如果D为整数，则输出序列等于输入序列，但延迟D个样本。若D不是整数，则x[n]不等于y[n]。如果需要在某个频率分量上使幅度和相位不失真的通过输入信号，则传输函数应该在感兴趣的频带内具有单位幅度响应和线性相位响应例：确定具有线性相位响应的一个理想低通滤波器的冲激响应。设频率响应为：通过截断得：^N=12N=13^^~例：一个因果线性时不变FIR离散时间系统由冲激响应h[n]=a1δ[n]+a2δ[n-1]+a3δ[n-2]+a4δ[n-3]+a5δ[n-4]+a6δ[n-5]+a7δ[n-6]描述。什么样的冲激响应值可使它的频率响应具有线性相位。4.4.3线性相位有限冲激响应传输函数的种类线性相位的条件:如果FIRDF的单位抽样响应h[n]为实数，而且满足(偶)对称h[n]=h[N-1-n]，或满足反、奇对称h[n]=-h[N-1-n]，其对称中心在处，则filter就具有准确的线性相位。

N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。Type1:N=8Type2:N=7Type3:N=8Type4:N=71、奇长度对称冲激响应例如

N=8，则传输函数：其中h[0]=h[8],h[1]=h[7],h[2]=h[6],h[3]=h[5]故则它的频率响应为：上面括号里的量是

的一个实函数，并在0||内可以取正值或负值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延迟为：~它的频率表达形式：振幅响应/零相位响应：2、偶长度对称冲激响应例如

N=7，则传输函数：其中h[0]=h[7],h[1]=h[6],h[2]=h[5],h[3]=h[4]则它的频率响应为：上面括号里的量是

的一个实函数，并在0||内可以取正值或负值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延迟为：~它的频率表达形式：振幅响应/零相位响应：3、奇长度反对称冲激响应例如

N=8，则传输函数：其中h[0]=－h[8],h[1]=－h[7],h[2]=－h[6],h[3]=－h[5]，h[4]=0故则它的频率响应为：上面括号里的量是

的一个实函数，并在0||内可以取正值或负值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延迟为：~它的频率表达形式：振幅响应/零相位响应：4、偶长度反对称冲激响应例如

N=7，则传输函数：其中h[0]=－h[8],h[1]=－h[7],h[2]=－h[6],h[3]=－h[5]，h[4]=0则它的频率响应为：上面括号里的量是

的一个实函数，并在0||内可以取正值或负值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延迟为：~它的频率表达形式：振幅响应/零相位响应：

4.4.4线性相位FIR传输函数的零点位置

1、零点的分布原则所以，如果是零点，则也一一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，10(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如01（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。例：一个线性相位滤波器的单位冲激响应是实数，且n<0和n>7是h(n)=0。如果h(0)＝1且传输函数在和z=3处各有一个零点，求H(z)。将h(0)=1带入上式，得A＝1/0.164.5简单数字滤波器4.5.1简单FIR数字滤波器一、低通FIR数字滤波器最简单的低通FIR数字滤波器是M=2的滑动平均滤波器，其传输函数为则其频率响应为当频率ω=ωc时，增益用dB为单位表示为由于故，频率ω=ωc称为3dB截止频率设则ω/π二、高通FIR数字滤波器则其频率响应为ω/π4.5.2简单IIR数字滤波器一、低通IIR数字滤波器一个一阶低通IIR数字滤波器的传输函数为其零点z=-1，极点z=a。幅度函数的最大值出现在ω＝0处，最小值出现在ω＝

处其平方幅度函数为则令或故要得到一个稳定的传输函数HLP(z)，则二、高通IIR数字滤波器一个一阶高通IIR数字滤波器的传输函数为例：设计一个3dB截止频率为0.8

的一阶高通滤波器。解：因为则三、带通IIR数字滤波器一个二阶带通IIR数字滤波器的传输函数为其幅度平方函数为它在ω＝0和ω＝π时得到零值，在ω＝ω0时得到最大值1，则ω0称为带通滤波器的中心频率平方幅度函数为1/2的频率称为3dB截止频率，则带宽为四、带阻IIR数字滤波器一个二阶带阻IIR数字滤波器的传输函数为五、高阶IIR数字滤波器一个高阶IIR数字滤波器的传输函数为当4.5.3梳状滤波器由低通FIR滤波器H0(z)产生的梳状滤波器的传输函数由高通FIR滤波器H1(z)产生的梳状滤波器的传输函数4.6全通传输函数AllpassTransferFunction4.6.1定义全通传输函数：在频率上具有单位幅度响应的无限冲激响应传输函数A(z)，即：设一个M阶的因果实系数全通传输函数：若定义全通函数AM(z)的分母多项式DM(z)则如果z=rej

是实系数全通传输函数的一个极点，那么它的零点在z=(1/r)e-j

全通函数的分子称为分母的镜像多项式，反之亦然。用表示M阶多项式的镜像多项式，则：~~表明实系数全通传输函数的零点和极点在z平面展示了镜像对称性为了说明对所有的ω有所以因此4.6.3一个简单的应用－－延时均衡器G(z)A(z)例：一个因果FIR滤波器的系统函数为h(0)>1，求三个具有相同幅值的频率响应的其他FIR因果滤波器。4.7最小相位Minimum-Phase与最大相位Maximum-Phase传输函数设两个一阶传输函数：H1(z)H2(z)两个传输函数有相同的幅度函数，因为则a＝0.8b=-0.5因果稳定的所有零点都在单位圆内的传输函数，与幅度完全相同但所有零点都在单位圆外的传输函数相比，有超前的相位。因此，最小相位传输函数：因果稳定的所有零点都在单位圆内的传输函数；最大相位传输函数：任意所有零点都在单位圆外的稳定传输函数例：一个因果线性移不变系统的系统函数是求H(Z)的形如H(Z)=Hmin(z)·Hap(z)的因式分解式，这里Hmin(z)有最小相位，Hap(z)是一个全通滤波器。4.8互补传输函数4.8.1延时互补Delay-Complementary传输函数如果由L个传输函数构成的集合{H0(z)，…，HL-1(