高中物理竞赛-话题11：巧用一次函数的平均值

PAGEPAGE7话题11：巧用一次函数的平均值在中学物理中，一次函数或等获得了极其广泛的应用。利用一次函数，不但能正确的表达诸如由时间决定的变力，弹簧类物体的弹力，线性变化的感应电动势，静液体的压强，共轴转动物体的各点的线速度等等一般的物理规律，更重要的是，还可以利用一次函数在定义区间内的平均值，来分析和解决许多比较复杂乃至极其困难的物理问题，从而删繁就简，化难为易，收到良好的教学效果。下面，我们试从三个方面展开讨论。一、关于线性变力的做功问题这里所谓线性变力，是一种方向沿同一直线而大小随位移均匀变化的力，亦即大小与位移成正比而方向相反的变力，其表达式为或。反映在数学中，这种变力是位移的一次函数。对解决这种变力做功的问题，使许多初学者感到困惑不解或十分棘手。但是，从另一个角度着眼，若利用这种函数在位移内的平均值即，可把它作为恒力来对待，使这类问题得以顺利解决。例1、如图所示，把质量为、底面积为的木块，放入密度为的水内的点即木块下底面在水下深度处时，由于恰好受力平衡而静止。现用力下按使其竖直向下移动至点,然后释放。求木块由点返回到点时的瞬时速度。解析：分析表明，木块在浮力、重力共同作用下做简谐运动。选竖直向下为轴的坐标正方向，以点为坐标原点。考虑到浮力遵守阿基米德定律，可得,其中为木块没入的深度。从而，可得木块所受的合力为其中为木块在任意位置偏离点的位移。依题意，当木块在点时，再把式代入式，又得由此可见，木块在此线性变力作用下做简谐运动。不难求出合力在区间上的平均值为 设由点返回到点时的瞬时速度为，根据动能定理可得最后，由、式即可求出应该指出，当线性变力与另一恒力(如此例之重力)共同作用于一个物体时，其合力也是线性的，从而形成形式的线性变力，其平均值的表达式与前者亦有所不同。并且，这一点对于以时间为自变量的一次函数也是如此。例2、如图所示，一根轻质弹簧竖直站立、下端固定在水平支持面上，恰好在弹簧的正上方高度为的点，有一质量为的物体由静止自由下落。当物体弹簧上端的点时，弹簧开始被压缩，而当它到达点时，物体的速度为零。试求：物体位移多大时达到最大速度？最大速度为多少？弹簧的最大压缩量？解析：首先，分析可知物体在竖直向下的重力、竖直向上的弹力等共同作用下，做先加速、后减速最后静止的变加速运动。选竖直向下为轴正方向，以点为坐标原点。由牛二定律，可得.其中为弹簧的弹力。然后，设物体自点下落至点时加速度为零，亦即物体达到最大速度；又设，亦即。于是，可得显然，重力、弹力的合力在位移x内的平均值为从而，由动能定理,我们不难得到由、和式，即可解得最后，依题意知物体自点下落到点时速度为零，再设弹簧的最大压缩量即，我们由动能定理又得 显然，上式是关于的一元二次方程。从而，又可解得由于，因而当根式前为号时，，舍去负解。从而，最后得到显然，。再与比较，可知.亦即线段,，点不是线段的中点；若比较大，则段比段要大的多。右图表示出合力随位移变化的大致情形，“阴影”的面积则为合力在相应位移内所做的功。由此例解析可见，虽然先、后在和两段位移上都利用动能定理解决问题，但由于前者与后者的位移不同，使得同一合力的平均值显然不同；从做功角度看，造成的原因，显然是在一段位移上，重力做了比在段更多的正功。还应指出，若使上式中，可知物体由到恰好完成简谐运动的半个全振动，此时点才是线段的中点，同时也是振动的平衡位置。二、关于线性变力冲量的问题这里所谓线性变力，是一种方向沿同一直线而大小随时间均匀变化的力，其表达式为或。反映于数学中，这种线性变力是时间的一次函数。类似地，若能利用线性变力在时间内的平均值即，则也可把它作为恒力来对待，使求变力的冲量问题得以圆满解决。例3、洒水车在洒水过程中，由于水流速度、喷水口面积等在比较长的时间内，可以认为保持不变，即单位时间内流出的水的质量相等。因而，洒水车的质量是时间的一次函数，可以写作。其中为初始质量，为质量对时间的变化率，为洒水的时间。现设洒水车的初速度为，初始质量为，经过的时间，车速增加为；再设它的牵引力恒定不变，与路面的摩擦因数为。试求：洒水车在时间内损失的动量。解析：首先，分析可知洒水车在水平方向的牵引力和滑动摩擦力等作用下做加速度逐渐增大的加速运动。显然，由于所受合力不为零，动量守恒定律不适用。但是我们可以先用合力的平均值求出合力的冲量，再利用动量定理即可求出动量的损失。然后，依题意，可知其合力为合力随时间变化的情形如图中直线所示，“阴影”的面积则表示了合力的冲量。在时间内合力的平均值为设洒水过程中损失的动量为，由动量定理得由、式，可以解得.解答此题的关键有二：一则先用线性变力——合力对时间的平均值，求出合力的冲量；进而，再利用动量定理去求动量的变化。二则在全过程的动量变化之中，不但有末、初动量之差，同时必须包括流出的水带走的动量，亦即题目所求的损失的动量。例4、在一根上端固定的细绳下端悬挂质量为的物体，使得物体恰好与平整的竖直墙壁相接触。再以水平力(为恒量，为时间)作用于物体上，如图所示。当水平力开始作用的同时，用火烧断细绳，物体即沿竖直墙壁向下运动而最终趋于静止。设物体与墙壁之间的摩擦因数为，试计算物体沿墙壁运动的最大速度和总时间。解析：首先，分析可知物体在竖直向下的重力、竖直向上的滑动摩擦力等的共同作用下做先加速、后减速最终趋于静止的变加速运动。然后，选竖直向下为轴坐标正方向，设物体运动的最大速度为。由牛二定律得，在加速度零时，可求出物体达到最大速度的时间由于物体所受合力为,它在时间内的平均值则可表示为接下来，在这段时间内，由动量定理可得再联立、和式，从而，我们即可求出最大速度同理，设运动的总时间为，由动量定理又得亦即最后,我们求出运动的总时间右图向右下倾斜的直线表示出合力随时间变化的大致情形，“阴影”的面积则为合力在相应时间内的冲量。若不采用合力对于时间的平均值，由于在高中物理中不能直接计算变力的冲量，此类问题就难以解决。需要强调，这里所谓线性变力对时间的平均值，是所设变力针对某一段时间的平均值；时间不同，则同一变力的平均值亦不同。这一点，从以上两例解答过程中，略见一斑。三、线性长度导致的感应电动势问题饶有趣味的是，电磁感应现象中也有一类随位移或时间均匀变化的感应电动势问题，即感应电动势是位移或时间的一次函数。类似地，我们也可以利用求其平均值的方法去分析和解决。例5、如图所示，两条平行的虚线、之间存在着垂直纸面向内、磁感应强度为的匀强磁场。在磁场的左侧另有一个等腰梯形线框，已知它的边的长度，底角，且总电阻为。现使线框自左至右以速度匀速进入磁场，自边进入直到边与磁场左边界重合为止，所用的时间为，那么求在此过程中通过线框某一横截面的电量。解析：分析可知，在题设过程中梯形线框切割部分的有效长度为由电磁感应规律得线框中的感应电动势BB显见，它是时间的一次函数。然后，该电动势在时间内的平均值最后由欧姆定律求出通过线框某一横截面的电量.解决此题的关键在于，先求出线框匀