五年高考真题分类汇编第十章：计数原理、概率、随机变量及其分布

五年高考真题分类汇编：计数原理、概率、随机变量及其分布列【解题提示】题设条件1≤|x₁|+|x₂+|x₃|+|x₄+|xs|≤3意味着xj,x₂,x₃,x₄,xs有4个，3个，2个元素为0.个不同数组.乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都【解题指南】对于信息题，要善于运用逻辑思维去推导，同时明确材料给我们传达的信息.A.45B.60C.120D.【解题指南】根据二项展开式的性质求解.4.(2014·辽宁高考理科·T6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种【解题提示】采用间接法，从3人的所有可能的坐法中将3人相邻和只有两人相邻的坐法【解析】选D.三人全相邻的坐法，采用捆绑法，将三人“绑在一起”,相当于一个元素在四个位置中选一只有二人相邻的坐法，从三人中任选两人，将这两人“绑在一起”,分类讨论：(一)若这两人坐(12)位，则第三人只能在4,5,6位中选一个位置，有3种坐法；(二)若这两人坐(23)位，则第三人只能在5,6位中选一个位置，有2种坐法；(三)若这两人坐(34)位，则第三人只能在1,6位中选一个位置，有2种坐法；(四)若这两人坐(45)位，则第三人只能在1,2位中选一个位置，有2种坐法；(五)若这两人坐(56)位，则第三人只能在1,2,3位中选一个位置，有3种坐法；这样只有二人相邻的坐法(这两人要全排列)共有种做法；综上可知，任何两人不相邻的坐法种数为120-24-72=24种.5.(2014·安徽高考理科·T8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()【解题提示】以正方体的顶点为目标进行判断。【解析】选C。正方体的每一个顶点有6对满足条件的对角线，8个顶点共有48对.6.(2014·四川高考理科·T6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()【解题提示】分两种情况进行讨论：(1)最左端排甲；(2)最左端排乙.7.(2014·湖北高考理科·T2)若二项式二的展开式中的系数是84,则实数a【解题提示】考查二项式定理的通项公式【解题提示】利用二项式定理展开式的通项公式。【解题指南】根据二项展开式的性质求解.CC=x+6x²+15x³+20x⁴+15x⁵+6x⁶+x⁷,故选C.11.(2014·湖北高考文科·T5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为pi,点数之和大于5的概率记为pz,点数之和为偶数的概率记为p₃,则()【解题提示】考查古典概型及其概率计算公式.首先列表，然后根据表格点数之和不超过5,点数之和大于5,点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可.【解析】选C.列表得：所以一共有36种等可能的结果，两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，所以向上的点数之和不超过5的概率,点数之和大于5的概率,点数之和为偶数的概率记为12.(2014·湖北高考理科·T7)由不等式确定的平面区域记为Ω,不等式确定的平面区域记为Ω₂,在Ω,中随机取一点，则该点恰好在Ω₂内的概BDBD首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D.依题意，不等式组表示的平面区域如图，为()【解题提示】利用几何概型的知识解决.【解题提示】求出阴影部分面积，利用几何概型求概率【解析】选B.则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()两点间的距离小于1的有AO,BO,CO,DO共6条线段，则根据古典概型的概率公式可知随机天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.7517.(2014·浙江高考理科·T9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个球放入甲盒中.(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p,(i=1,2).则A.P>P₂,E(ξ)<E(ξ)BP<P₂,.,.,【解题指南】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算P、P²和E(5)、E(S在比较大小.【解析】选512P5123P所以,因为,18.(2013·福建高考理)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax²+2x+b=0有实数A.14B.13C.12不同的选法；②当a≠0时，依题意得A=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时，b有4种有3种不同的选法，当a=2时，b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理，(a,b)的个数共有4+4+3+2=13.19.(2013·辽宁高考理)有的展开式中含有常数项的最小的n为r.x-cax()-cy~-m-基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是的计算.由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积；矩形面积为2,则所24.(2013·江西高考理)展开式中的常数项为A.80B.-80【解析】选C本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力.25.(2013·广东高考理)已知离散型随机变量X的分布列为X123P【解析】选AB.2本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力.26.(2013·山东高考理)用0,1,…,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数A.243B.252C.261【解析】选B本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.能够组成三位数的个数是9×10×10=900,能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8=648,故能够组成有重复数字的三位数的个数是900-648=252.A.56B.84C.11228.(2013·湖北高考理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,则X的均值A【解析】选B本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力.,,,,,,E(X)-O×P(X-0)+1×P(X-1),E(X)-O×P(X-0)+1×P(X-1)29.(2013·四川高考理)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的A.9B.10C.18D.20题和解决问题的数学应用能力.lga-lglg多少个不同值，只要下同值的个数，所以共有A}-2=20-2=18个不同值.30.(2013·四川高考理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()转化与化归思想，同时考查考生导数与单调性的运算能力.设第一串彩灯亮的时刻为x,第二串彩灯亮的时刻为y,则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则如图，不等式组所表示的图形面积为16,不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16-4=12,由几何概型的公式可得P31.(2013·安徽高考文)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()的理解.本题主要考查古典概型的概率计算，意在考查考生的运算能力和对基本概念事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”,从五位学生中选三人的基本事件个数为10,“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率A.28B.56【解析】选C本题主要考查二项式定理.由二项式展开式的通项公式T=C,a*‘b',得含x⁶的项是T₂-|=Cx⁸-22²,所以含x⁶的项的系数为2²C=112.33.(2013·湖南高考文)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,最大边是AB”发生的概率,贝使△APB(的)【解析】选D本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力.由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分34.(2013·新课标I高考文)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()【解析】选B本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小.从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),故所求概率.35.(2013·江西高考文)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数，则这两A.232B.252所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.A.42B.3541.(2012·辽宁高考理)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的A.3×3!B.3×(3随机变量ξ取值xi、随机变量ξ取值xi、x₂、x₃、x₄、的概率也均为0.2.xs的概率均为0.2,随机变量ξ取若记Dξi、DE₂分别为ξ、ξ的方差，则()A.Dξ₁>Dξ₂B.Dξ₁=Dξ₂C.Dξ₁<Dξ₂D.Dξ₁与D5₂的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关【解析】选A由条件可得，随机变量ξ、ξ的平均数相同，记为x,则46.(2012·大纲卷高考理)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()【解析】选A由分步乘法计数原理，先排第一列，有A3种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A}×2=12种排列方法.47.(2012·北京高考理)设不等式：表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()标为(x,y),则随机事件：在区域D表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x²+y²=4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率；48.(2012·北京高考理)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的A.24B.18C.12【解析】选B若选0,则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A};若选2,则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A}=12,根据分类加法计数原理得总个数为6+12=18.49.(2012·湖北高考理)设a∈Z,且O≤a<13,若51²0l²+a能被13整除，则a=()A.0【解析】选D51²0l²+a=(13×4-1)²°l²+a,被13整除余1+a,结合选项可得a=12时，51²0l²+a能被13整除.50.(2012·湖北高考理)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()【解析】选A设扇形的半径为2,其面积；其中空白区域面积为=2,因此此点取自阴影部分的概率51.(2012·浙江高考理)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()【解析】选D对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个52.(2012·福建高考理)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()【解析】选C阴影部分的面积为故所求的概率P=53.(2012·安徽高考理)的展开式的常数项是()A.-3B.-2展开式的常数项是5-2=3.54.(2012·安徽高考理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次【解析】选D不妨设6位同学分别为A,B,C,D,E,F,为AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF共有15种.因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种.第一类，某人少交换2次，如DF,EF没有交换，则A,B,C交换5次，D,E交换4次，F交换3次；第二类，4人少交换1次，如CD,EF没有交换，则A,B交换5次，C,D,E,F交换4次.55.(2012·新课标高考理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地【解析】选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC²=12种安排方案.56.(2012·湖北高考文)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA,OB为直径半径的半圆的公共部分面积为所以所求概率57.(2012四川高考文)(1+x)?的展开式中x²的系数是()A.21B.28C.35相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()b,c∈{-2,0,1,2,3}且a,b,c互不相同，因此相应的数组{a,b,c}共有A2-C}=36组，其中当b=-2与b=2时，相应的(a,b,c)题意的不同的抛物线共同有36-4=32条.59.(2012·辽宁高考文)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm²的概率为()要x(12-x)>20,则x²-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为60.(2012·安徽高考文)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()【解析】选B标记红球为A,白球分别为B₁、B₂,黑球分别为C₁、C₂、C₃,记事件M为C₃)、(C₂,C₃),共15个.其中事件M包含的基本事件有：(B₁,C)、(B₁,C₂)、(B₁,C₃)、(B₂,C)、(B₂,C₂)、(B₂,C₃),共6个.根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)61.(2012·北京高考文)设不等式!表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()【解析】选D画草图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为62.(2012·大纲卷高考文)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()【解析】选C优先安排甲有A种不同方法，然后剩余5位选手的全排列有A?种不同排法.故有A}A3=480种不同排法.63.(2012重庆高考文)(1-3x)⁵的展开式中x³的系数为()A.-270B.-90【解析】选A(1-3x)³的展开式通项为T-=C(-3)x(O≤r≤5,r∈N),当r=3时，该64.(2011·新课标高考)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()【解析】选A甲、乙各自参加一个兴趣小组是相互独立的事件，且每人报每个兴趣小组也是独立的，故两位同学参加同一兴趣小组的概率为65.(2011·新课标高考)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数A.-40B.—20C.20【解析】选D对?可令x=1得1+a=2,故的展开式的通则展开式的日来，展开式的x相乘，故令5-2r=-66.(2011·大纲卷高考)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()【解析】选B依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有Cl=6(种).因此，满足题意的赠送方法共有4+6=10(种),选B.67.(2011·重庆高考)(1+3x)”(其中n∈N且n≥6)的展开式中x⁵与x⁶的系数相等，则n()【解析】选B注意到二项式(1+3x)”的展开式的通项是T--1=C,1"“(3x)=C,:3x',于是依题意有68.(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠【解析】选A问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率第二类，需比赛2【解析】选CBc.当r=1时，为含x²的项，其系数是为故选择C.70.(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于()【解析】选C点E为边CD的中点，故所求的概故选C.71.(2011·福建高考)(1+2x)⁵的展开式中，x²的系数等于()=40x²,故x²的系数为40,故选B.72.(2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,o²),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<A.0.6【解析】选C因为μ=2,所以P(ξ<4)=1-P(ξ≥4)=0.8,可知P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,一一所以73.(2011·湖北高考)如图，用K、A₁、A₂三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A₁、A₂至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A₁、A₂正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为()A:KA.0.960B.0.864C.0.720【解析】选B可知K、A₁、A₂三类元件正常工作相互独立.所以当A₁,A₂至少有一个能正常工作的概率为P=1-(1-0.8)²=0.96,所以系统能正常工作的概率为PxP=0.9×0.9674.(2011·浙江高考)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()【解析】选B基本事件共有A?=120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，【解析】选CT₁=C(2²*)⁶-(-2~Y=(-1)C(2)l²-3,r=4时，12-3r=0,故第5项是76.(2011·陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【解析】选D{6,6},共6个基本事件，所以所求的概率值；77.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=【解析】选B,由条件概率计算公式，得P(BLA)78.(2010·全国卷2高考文)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有()【解析】选B本题考查了排列组合的知识.∵先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有79.(2010·重庆高考理)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，80.(2010·天津高考理)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用()【解析】选B(1)B,D,E,F用四种颜色，则有种所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法.81.(2014·山东高考理科·T14),,的展开式中x项的系数为20,则q²+b²的最小值为.的通项，然后利用基本不等式求出最值.答案：2.82.(2014·安徽高考理科·T13)设a≠0,n是大于1的自然数，an+a₁x+a,x²+…+a,x".若点A(i,a)(i=0,1,2)的位置如图所示，则a=【解析】由题意可得两式联立解得答案：3【解题提示】利用二项展开式的通式求得x⁷的系数，利用系,【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑先后顺序共有10种取法，分别是【误区警示】有无顺序是最容易出错的，列10种取法部分同学会遗漏或重复85.(2014·广东高考理科)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7个不同的数，则这7个数的中位数是6的概率为【解析】6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，所求概率为【误区警示】考虑中位数是6时，7,8,9是必选的，再从0~5中选3个数字从小到大排在6的左边即可.86.(2014·上海高考理科·T10)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).【解题提示】选择的3天恰好为连续的3天共有8种选法，而总的选法,根据古典概率公式易得.87.(2014·上海高考文科·T13)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).公式易得.88.(2014·福建高考文科·T13)13.如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为【解题指南】由几何概型概率公式求解.【解析】由几何概型可知,所以S=0.18.答案：0.18,89.(2014·浙江高考文科·T14)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是【解析】基本事件总数是3×2×1=6,甲、乙两人各一张，两人中奖只有两种情况，由古典概型的公式知，所求的概率90.(2014·辽宁高考理科·T14)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,1),C(1,-1),ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是.根据几何概型知，质点落在图中阴影区域的概率是【误区警示】结合对称性，正方形内部的非阴影部分的面积s,的计算，要防止复杂化，导致增加计算量计算件次品的概率是【解题指南】根据组合的知识及古典概型概率公式求解【解析】从10件产品中取4件所包含的所有结果为C4种，恰好取到1件次品所包含的结果。92.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为【解题提示】将“相同颜色”的情况分清楚，利用独立事件的概率求法求解.【解析】先求出基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解.甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红),(红，白),(红，蓝),(白，白),(白，红),(白，蓝),(蓝，蓝),(蓝，白),(蓝，红),共9种.而同色的有(红，红),(白，白),(蓝，蓝),共3种.所以所求概率分.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(E)=4.2,则小白得5分的概率至少为【解析】所以P≥0.2.则D(ξ)=【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的性质计算.,解得,解得故96.(2013·福建高考理)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1>0”【解析】本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.由几何概率公式得，事件“3a-1>0”发生的概率为97.(2013·安徽高考理)老的展开式中x⁴的系数为7,则实数a=【解析】本题考查二项展开式的通项.二项展开式的通项为98.(2013·浙江高考理)设二项的展开式中常数项为A,则A=【解析】本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能生的运算求解能力.令15-5r=0,得r=3,故常数项A=(-1)³C=-10.【答案】-1099.(2013·浙江高考理)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,B均在C的同【解析】本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能【答案】480100.(2013·重庆高考理)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).【解析】本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力.直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名.所以选派种数为C÷ClC;+ClC|C+C³CCl+C²C²C+CC}Cl+CCC=590.【答案】590101.(2013·新课标II高考理)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率；,则n=【解析】本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力.试验基本事件总个数为C2,而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得解得n=8.【答案】8102.(2013·北京高考理)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是【解析】本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5,故其方法数是4A4=96.【答案】96103.(2013·山东高考理)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得[x+1|-|x-2|≥1成立的概率为【解析】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力.当x≤-1时，不等式|x+1|-|x-2|≥1,即-(x+1)+(x-2)=-3≥1,此时时，不等式|x+1|-|x-2|≥1,即x+1-x+2=3≥1,解得x>2.在区间[-3,3]上不等式[x+1|-|x-2|≥1的解集为1≤x≤3,故所求的概率；104.(2013·大纲卷高考理)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)【解析】本题考查排列组合知识.【答案】480【解析】本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力.因为C3=10,故含x²的项的系数是10106.(2013·天津高考理)的二项展开式中的常数项为.所以常数项是C(-1)⁴=15.107.(2013·重庆高考文)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概【解析】本题主要考查古典概型，考查考生的逻辑思维能力.三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，其中甲、乙相邻有4种排法，所以108.(2013·江苏高考文)现有某类病毒记作X,Y,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)意选取，则m,n都取到奇数的概率为【解析】本题考查古典概型的相关知识，意在考查用枚举法求概率.基本事件总数为N=7×9=63,其中m,n都为奇数的事件个数为M=4×5=20,109.(2013·大纲卷高考文)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)【解析】本题主要考查组合、分步计数乘法原理的应用.第一步决出一等奖1名有C;种情况，第二步决出二等奖2名有G种情况，第三步决出三等奖3名有C;种情况，故可能的决赛结果共有C⁶C}C3=60种情况.【答案】60110.(2013·福建高考文)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”【解析】本题主要考查几何概型与随机模拟等基础知识，意在考查或然与必然生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.由题意，得所以根据几何概111.(2013·新课标Ⅱ高考文)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是【解析】本题主要考查古典概型，意在考查考生对基本概念的理解与基本方法的掌握.从五(3,5),(4,5),共10个，其中“和为5”的结果有(1,4),(2,3),共2个，故所求概率；112.(2013·浙江高考文)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于【解析】本题主要考查古典概型的概率求法，即随机事件的概率问题，意在考查考生对基础知识的掌握程度以及简单求解能力.从3男3女中选出2名同学，共有以下15种情况：(男1,男2),(男1,男3),(男2,男3),(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男2,女1),(男2,女2),(男2,女3),(男3,女1),(男3,女2),(男3,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),其中2名都是女同学的有3种情况，故所求的概率113.(2013·重庆高考文)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 第一类：文化课之间没有艺术课，有A}A种第三类：文化课之间有两节艺术课，有A}A?·A?种一一115.(2012·陕西高考理)(a+x)⁵展开式中x²的系数为10,则实数a的值为T₄=C(-2)³=-160.【答案】-160【答案】-160将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每-2时，将P;分成2'段，每|【解析】2位回文数有9个，4位回文数有9×10=90个，3位回文数有90个，5位回文数【答案】909×10°123.(2012·浙江高考理)若将函数f(x)=x³表示为f(x)=ao+a₁(1+x)+a₂(1+x)²+…+as(1+x)⁵,其中an,a,a₂,…,as为实数，则a₃=【解析】不妨设1+x=t,则x=t-1,因此有(t-1)⁵=ao+ajt+a₂t²+a₃t³+a₄f+ast³,则a₃=C}(-1)²=10.124.(2012·福建高考理)(a+x)*的展开式中x³的系数等于8,则实数a=【解析】(a+x)*的展开式的第r+1项为T=Ca⁴-x,令r=3,得含x²的系数为Cia,故C³a=8,解得a=2.【答案】2125.(2012·新课标高考理)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,50²),且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【解析】依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1000小时，元件正常工作的概率为0.5,则部件正常工作的概率126.(2012·浙江高考文)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离的概率是【解析】设此正方形为ABCD,中心为O,则任取两个点的取法有AB,AC,AD,BC,BD,CD,AO,BO,CO,DO,共10种；取出的两点间的距离为的取法有OA,OB,OC,127.(2012·上海高考文)的二项展开式中，常数项等于.【解析】:”,令6-2r=0,得r=3,得所求常数项等于C(-1)³=-20.【答案】-20128.(2012·上海高考文)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).【解析】因为每人都从三个项目中选择两个，有(C3)³种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C}C{C个，故所求概率129.(2012·福建高考文)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案.方案设计图中，点表要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为【解析】根据最优化设计方案，应从EAFGCBD,故铺设道路的最小总费用为2+3+1+3+5+2=16.130.(2012·湖南高考文)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29℃~63℃,精确度要求±1℃.且分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为【解析】存优范围长度为34,选择分：,利用分数法选取试点，最少应试验7次.【答案】7131.(2012·大纲卷高考文)的展开式中²的系数为.【解析】经观察可得展开式中含有x²的项为故展开式中x²的系数为7.【答案】7132.(2012·重庆高考文)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 因此，(1【答案】0,,【答案】0137.(2011·山东高考)若展开式的常数项为60,则常数α的值为展开式的通项公式是T-=Cr⁶-(-Va)'x²”=Cx⁶-3(-Va)”,当r=2时，T为常数项，即常数项是CGa,根据已知Ca=60,解得a=4.【答案】4138.(2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则【解析】圆的面积是π,正方形的面积是2,扇形的面积根据条件概率的公式得根据几何概型的概率计算公式139.(2011湖南高考)对于n∈N,将n表示为n=ao×2⁴+a₁×2*-¹+a₂×2^-²+…+ak-1×2'如：1=1×2°4=1×2²+0×2¹+0×2°,故1(1)=0,/(4)=2),则【解析】12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2°,所以/(12)=2;易见127可表示为2⁶+2⁵+…+2+1即(1,1,1,1,1,1,1)对任意1≤n≤127,(1,aj,…,a₄(k≤6),故表示法中有0个0的有7个表示法中有1个0的有6+5+…+1=21个数，表示法中有2个0的有CG+C3+…+C2=C个数，表示法中有3个0的有C+C3+…+C3=C个数，,,表示法中有4个0的有C+C+C4=C个数，表示法中有5个0的有C+C=C个数，表示法中有6个0的有C=1个数.【答案】21093140.(2011·重庆高考)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为【解析】依题意得所求的概率为141.(2011·广东高考)的展开式中，x⁴的系数是.(用数字作答)的展开式中x³的系数，的道项：的展开式中x³的系数，的道项：数为84.【答案】84142.(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于.【解析】取到的2个球颜色不同的概率143.(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是【解析】采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2个，所以所求的概率144.(2011·湖北高考)的展开式中含xl⁵的项的系数为.(结果用数值表示)145.(2011·湖北高考)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)【解析】所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为期伙料的概率则至少有1瓶为已过保质146.(2011·湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有.(结果用数值表示)【解析】(1)当n=6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C}=10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C}=4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案.(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有2⁶种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有2⁶-21=43种.147.(2011·浙江高考)设二项-cd-o:4-ct-o²-a-u.a>0,∴a=2.【答案】2148.(2011·浙江高考)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)则随机变量X的数学期望E(X)=随机变量X的可能值为0,1,2,3,因此,,,因此149.(2010·江西高考理)将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答).【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识.先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组两个一人组,再全排列得：150.(2010·安徽高考理)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A,A₂和A₃表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).③事件B与事件A相互独立；生有关【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的【答案】②④151.(2014·湖南高考文科·T17)(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：,b),a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a其中a,a分别表示甲组研发成功和失败；b,b分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.【解题提示】(1)利用平均数，方差公式计算；(2)利用古典概型的计算公式计算。其平均数为方差为其平均数为在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)共7个，故事件E发生的频率为将频率视为概率，即得所求概率为152.(2014·山东高考文科·T16)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量(I)求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【解题指南】(1)本题考查了分层抽样，利用比例求出求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；(2)本问考查了古典概型，先将基本事件全部列出，再求这2件商品来自相同地区的概率.(I)因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：,,;,,(B,B₂),(B,B),(B₂,B),(C本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元0车辆数(辆)(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.【解题指南】(1)首先由已知计算赔付金额为3000元及4000元得出频率，利用频率估计概率，求和即得所求.(2)利用已知样本车辆中车主为新司机的辆数，再利用图求得赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的辆数，由频率估计概率得值.【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4000元”,由题意知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率由频率估计概率得P(C)=0.24.154.(2014·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.{A,B},{A,C},{A,X},{A(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.155.(2014·四川高考文科·T16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.【解题提示】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查应用意识.【解析】(1)由题意，(a,b,c)所有的可能为3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,23),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种，所以P(B)=1-P(B)-12g因此，“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率)156.(2014·湖北高考理科·T20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台?【解题指南】(I)先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可,由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为(Ⅱ)记水电站年总利润为Y(1)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,(2)安装2台发电机的情形台发电机运行，此时Y=5000-800=4200,因此Y=500Q210,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p₂+P₃=0.8;由此得的分布列如下YP(3)安装3台发电机的情形依题意，当40<x<80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(4Kx<80≠R=0;当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时P(¥1500△)Pp₃X由此得的分布列如下YP综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。157.(2014·湖南高考理科·T17)(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}。由题设知，,(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因’,’故所求的分布列为X0P数学期望为158.(2014·广东高考理科)(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,3根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率358(1)确定样本频率分布表中ni,nz,f₁和f₂的值.(1)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图.(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间[30,35]的概率.(3)根据“样本频率分布直方图”判断为二项分布型，再用对立事件的概率求解.(2)算得各组的的值分别为：扣分)“样本分布直方图”如图所示；159.(2014·福建高考理科·T18)18.(本小题满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【解题指南】(1)列分布表，再按公式求期望；(2)欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡，则应求方差，方差小的为最佳方案.【解析】(1I)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得即顾客所获的奖励额为60元的概率②依题意，得X的所有可能取值为20,60,,XP(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况.如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,20,40),记为方案2…………9分对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X₁,则X₁的分布列为P对于方案2,即方案(20,20,20,40),设顾客所获的奖励额为X₂,则X₂的分布列为P由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择注：第(2)问，给出方案1或方案2的任一种方案，并利用期望说明所给方案满足要求，给3分；进一步比较方差，说明应选择方案2,再给2分.(3)根据“样本频率分布直方图”,以频率估计概率，则在该厂任取1人，其加工零件数据落在在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35)的概率为160.(2014·山东高考理科·T18)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率),在D上的概率对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为在D上的概率为假设共有两,次来球且落在A,B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：(I)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；【解题指南】(1)本题考查了相互独立事件的概率.(2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望.【解析】(I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为A,,所以的分