2024年广东省梅州市大埔县进光中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省梅州市大埔县进光中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）今年是共建“一带一路”倡议提出10周年，也是构建人类命运共同体理念提出10周年．2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（）A．38×1010 B．3.8×1011 C．0.38×1012 D．3.8×10122．（3分）京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B．2a+3a＝5 C．（a2）3＝a5 D．20230＝14．（3分）下列方程为一元二次方程的是（）A．2x﹣y＝0 B．x2﹣y＝0 C．x2＝1 D．x2﹣（x﹣1）2＝05．（3分）如表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布：年龄/岁13141516人数1542则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（）A．中位数是14岁 B．中位数是15岁 C．众数是14岁 D．众数是5岁6．（3分）已知方格纸中线段AB、线段CD和线段BE，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（）甲同学：AB∥CD；乙同学：∠C和∠DAC互余；丙同学：线段AB的长为点A到直线BE的距离；丁同学：直线BE与直线CD互相垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）要使二次根式有意义，x的值不可以取（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为（）A． B． C．6 D．89．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0）有最大值1，则b的大小为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）分解因式：4y2﹣4＝．12．（3分）投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是．13．（3分）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，连接AE，交BD于点F，若EC＝2BE，则的值是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，AE＝2，点P、Q分别是直线AB、BC上的两个动点，将△AEQ沿EQ翻折，使点A落在点F处，连接EF，QF，PF，PD，若正方形的边长是6，则PD+PF的最小值是．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算：．17．（8分）解不等式组：．18．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋橡E点的仰角为63.4°房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．19．（9分）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性，为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动，活动设置了四个爱心项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：（1）本次接受抽样调查的总人数是人；（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有人；（4）小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没之逆转时空》（依次记为a、b、c、d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《热辣滚烫》”和“b法《飞驰人生2》”的概率．20．（9分）实验学校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书其中《九章算术》的单价比《几何原本》的单价低16元，用9600元购进《九章算术》的数量是用4800元购进《几何原本》的数量的3倍．（1）求《九章算术》和《几何原本》的单价分别是多少元？（2）该校打算购进这两种书共300本，且《九章算术》的数量不超过《几何原本》的数量的2倍，求购进这两种书各多少本时，花费最少？21．（9分）如图，是一个16×8的矩形网格图，网线的交点叫做格点，点A、B是格点．记过A、B的直线为l：y＝mx+n，过点A的双曲线为，直线l、双曲线L、x轴三者所围形如“△”的区域为G．（1）在如图所示直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（﹣1，0）．①求直线l的表达式；②直接写出双曲线L的表达式；③直接写出此时区域G内部格点的个数．（2）嘉琪平移了（1）中一条坐标轴，在平移后的新坐标系中直线l变成了正比例函数，请你说出嘉琪是怎样平移的？并直接写出平移后双曲线L的表达式．（3）如果把（1）中的坐标轴平移后，区域G内部格点的个数正好是8个，记平移的距离是S．请你直接写出所有的平移情况，及S的值或取值范围．22．（12分）如图1，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P．（1）求证：PC2＝PA•PB．（2）如图2，Q是射线AB上一点，连接CQ，且，CD＝8，，求证：直线CQ是⊙O的切线．23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：3800亿＝380000000000＝3.8×1011．故选：B．2．解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．3．解：A、＝2，故A不符合题意；B、2a+3a＝5a，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、20230＝1，故D符合题意；故选：D．4．解：A.2x﹣y＝0，有两个未知数，未知数的最高次数是1，是二元一次方程，故不符合题意；B．x2﹣y＝0，有两个未知数，未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故不符合题意；C．x2＝1，有一个未知数，未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；C．x2﹣（x﹣1）2＝0，化简得：2x﹣1＝0，有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故不符合题意．故选：C．5．解：观察表格可知人数最多的有5人，年龄是14岁，故众数是14，这组数据共12个，中位数是第6，7个数据的平均数，因而中位数是14.5，故选：C．6．解：连接AE，由图可知：AB∥CD，故甲同学说法正确；由勾股定理得：AD2＝2，CD2＝22+32＝13．AC2＝12+42＝17，AB2＝22+32＝13，BE2＝22+32＝13．AE2＝52+12＝26，∴AD2+CD2≠AC2，AB2+BE2＝AE2，∴△ADC不是直角三角形，△ABE是直角三角形∴∠ACD和∠DAC不是互余关系，故乙同学说法错误，∴AB⊥BE，∴线段AB的长为点A到直线BE的距离；故丙同学说法正确，∵AB∥CD，∴CD⊥BE，∴直线BE与直线CD互相垂直；故丁同学说法正确，∴结论正确的有3个，故选：C．7．解：要使二次根式有意义，则x﹣3≥0，解得：x≥3，故x的值不可以取2．故选：A．8．解：连接OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CB，∴∠BAO＝∠OCB，∵∠AOB＝2∠OCB，∴∠AOB＝2∠BAO，∵∠BAO+∠AOB＝90°，即∠BAO+2∠AOB＝90°，∴∠BAO＝30°，∴AB＝OB＝，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4．故选：B．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵CE＝DF，∴DE＝AF，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）；∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠AFB+∠EAF＝90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；假设AO＝OE，∵AE⊥BF，∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；∵AE⊥BF，在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，∴2AO2＝2BO×FO，∴AO2＝BO×FO，故④正确故选：C．10．解：∵二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b＝1，∴b＝1．故选：B．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：原式＝4（y2﹣1）＝4（y+1）（y﹣1）．故答案为：4（y+1）（y﹣1）．12．解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是6的只有1种结果，所以向上一面的点数是6的概率为．故答案为：．13．解：∵EC＝2BE，∴BC＝BE+EC＝3BE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝3BE，AD∥BC，∴△ABE∽△DAF，∴＝＝．故答案为：．14．解：如图，过点A作AD⊥OC于点D，∵AC＝AO，∴CD＝DO，∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，∴A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵S△ABC＝12，∴S△AOC＝＝6，∴S△AOD＝S△AOC＝＝|k|，又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0，∴k＝﹣6，故答案为：﹣6．15．解：如图，作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，在Rt△EDD′中，∵DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4，DD′＝2DC＝12，∴，由轴对称可知，DP＝D′P，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝AE＝2，当E、F、P、D′共线时，PD′+PF定值最小，最小值为，∴PD+PF的最小值是，故答案为：三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：＝1+2﹣4+2×1＝3﹣4+2＝1．17．解：，由①得x≥﹣3，由②得x＜2，所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，18．解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，∴AG＝6×0.75＝4.5（米）；答：屋顶到横梁的距离AG约为4.5米；（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，∵tan∠EDH＝，∴DH＝，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，∵tan∠ECH＝，∴CH＝，∵CH﹣DH＝CD＝8米，∴﹣＝8，解得：x≈9.6（米），∴AB＝AG+BG＝9.6+4.5≈14（米），答：房屋的高AB约为14米．19．解：（1）∵B组45人，占百分比为37.5%，∴接受抽样调查的总人数是：45÷37.5%＝120（人），故答案为：120；（2）C组人数为：120×25%＝30（人），A组人数所占百分比为：100%﹣37.5%﹣25%﹣22.5%＝15%，补全统计图如下：（3）∵15%×2600＝390（人），∴估计该校参加A项目的学生有390人；故答案为：390；（4）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a《热辣滚烫》”和“b《飞驰人生2》”的有2种可能的结果，∴P（两张卡片恰好是“a《热辣滚烫》”和“b《飞驰人生2》”）＝＝．20．解：（1）设《九章算术》单价为x元，则《几何原本》的单价为（x+16）元，根据题意得：＝3×，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的根，32+16＝48，答：《九章算术》和《几何原本》的单价分别是32元，48元；（2）设学校购进《九章算术》m本，则购进《几何原本》（300﹣m）本，共需费用w元，则w＝32m+48（300﹣m）＝﹣16m+14400，∵m≤2（300﹣m），解得：m≤200，∵﹣16＜0，∴当m＝200时，w最小，最小值为11200，此时300﹣200＝100，答：当学校购进《九章算术》200本，则购进《几何原本》100本时，费用最小．21．解：（1）①把A、B的坐标代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线l的表达式为：y＝x+1；②把A（1，2）代入，得k＝1×2＝2，∴双曲线L的表达式为：；③区域G内部只有1个格点．（2）∵k＞0，∴嘉琪只能是：把x轴向上平移了一个单位，平移后双曲线L的表达式为，或者把y轴向左平移了一个单位，平移后双曲线L的表达式为．（3）因为k＞0，所以共有以下几种情况：①把x轴向下平移2个单位长度，即平移的距离满足：S＝2时，区域G内部格点的个数正好是8个；②把y轴向左平移大于6小于等于7时个单位长