小学数学结构化学习的理解与实践

小学数学结构化学习的理解与实践

苏教版人教版北师大版翼教版苏教版教材人教版教材翼教版教材沪教版教材小学数学结构化学习的理解与实践一、背景二、概念1.现实问题2.理论依据3.教育启示结构与结构化结构化学习与小学数学结构化学习1.学理分析2.学情调研3.学材开发4.学程设计5.学评调节教师：一课通，百课通学生：课课不同，课课融通三、实践四、意义一、背景实际工作中，教师教学的困难主要来源于两个方面：一是教师理解知识结构难。特别是将知识的科学结构转化为学生的学习结构难，其间需要教师个人的专业理解。二是教师认识学生认知难。特别是教师基于学生数学学习的抽象性创造工具技术支撑直观活动难，其间需要教师团队的专业创造。破解教师教学的难度要从分析学生学习的难度开始。结构化学习的研究，显然注意到这两点，着力培养数学教师教学的专业素养，努力培养学生数学学科的核心素养。皮亚杰人类的认知活动具有一定的结构，这种结构不是先验地给定的，而是在发展过程中通过演变系统构成的，并通过同化、顺应、平衡和图示等形式表现出来。他总结了结构的三个特征：整体性、转换性和自我调整性，提出了结构不仅具有共时性，还具有历时性。这，对于我们思考与设计学科活动是有着积极意义的。布鲁纳掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义的联系起来的方式去理解他。简单的说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。关联，是结构化学习的关键词。具有结构性的教材，才有利于学生理解；具有结构性的教材才有利于知识的保持；学生从结构中学到的原理容易迁移到今后的学习中去。这里的教材，就是学材的意思。奥苏贝尔所谓意义学习，就是将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。数学课程标准（2011版）数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识之间的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对数学知识可以从不同角度加以分析，从不同层次加以理解。高中数学课程标准（2017版）数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人类生活和社会发展紧密关联。进一步精选了学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化。数学课程标准（2022版）小学数学结构化学习，是小学生在已有数学知识经验结构基础上，借助教师对小学数学教学内容的整体理解与适切的课程开发，经历个性化的连续、关联、循环的认知转化，促进结构思维并实现心智转换，发展结构化学习的方法与思想，影响并引领着学生未来发展的学习方式与方法。

一句话表达：结构化学习，就是整体意义关联，思维结构发展。学思融通：小学数学结构化学习的实践路径知识结构认知结构学理分析学情调研学材开发学程设计课堂实践学评调节学生生活世界熟悉的、综合的、关联的学理分析学情调研学材开发学程设计学评调节学理分析——理解学习数学本质知识，理清大概念、单元、概念、知识元素之间的关系。学情调查——了解分析学生基础知识状况与基础思考问题的方式方法与思路思想。学程设计——改变学习方式，提升教师创造性设计教学方案和组织教学的能力。学材开发——提供学习支持，变教材为学材，提高工具技术应用创造能力。学评反馈——知道数学学科阶段目标，不断提高学生元认知学习水平。结构化学习理解与实践精神种子国家课程计划学科课程课程标准认知冲突知识单元学理分析核心问题元素概念单元大概念核心任务发明者编写者教师学生基本能力基础知识学情调研学程设计连续关联循环反思联想迁移应用学习评价合作探究独立自主学习活动校本创新实践一面镜子学材开发工具技术结构化学习的四个方面一是学习内容的结构化。包括基于教材三个层次梳理与理解——课时知识点元素关联形成的数学知识概念结构、概念关联组成的数学知识单元结构以及单元发展的数学知识大概念结构。对小学数学知识进行整体性的梳理与理解，是小学数学教师理解数学专业化的基础要求。二是核心任务的结构化。包括结构化学习过程中目标要求的认识、理解、应用与学科素养发展中的必备品格、关键能力、情感态度的阶段发展相匹配的层级任务结构化。三是学习活动的结构化。包括知识与认知连续性对接、互动探究关联性展开以及变化情境循环式应用，逐步形成教师主体、师生双主体、学生主体建构的活动结构化。四是目标评价的结构化。情境问题中元素发现、整体关联中理解建构、应用创新中结构迁移，都可以通过表现性观察记录乃至数据化实证分析，达到对儿童数学学习的“抽象、推理、模型”的关键能力发展水平进行结构化评价的目的。结构，支持儿童意义地学习部分在整体中,整体大于部分之和;结构有着关联、转换、灵性的意义，具有迁移的功能，能促进情感、意志与思维的和谐发展;“整体——部分——整体”的结构教学相模型，揭示知识本质，促进学习迁移，能解决课时之间零散、知识之间孤立、单元之间割裂、学科之间分离的问题。二、概念结构:元素及关系的整体关联。结构化:结构的结构过程。小学数学结构化学习:小学生在已有数学知识经验结构基础上，借助教师对小学数学教学内容的整体理解与适切的课程开发，经历个性化的连续、关联、循环的认知转化，促进结构思维并实现心智转换，发展结构化学习的方法与思想影响并引领着学生未来发展的学习方式与方法。结构化学习:学生依据教师对于知识整体关联的理解设计，实现心智转换的发展性活动。结构化学习理解与实践整体性关联性发展性1.小学数学知识、领域知识单元知识、课时知识的结构都是整体的;2.与小学数学知识相联系的学生认知结构也是整体的;3.数学学科的育人价值也是整体的。1.小学数学知识、小学生数学认知以及心智发育是关联的;2.关联是结构化关联;3.关联是动态平衡的发展，在理解实践同时发生与实现。1.小学数学知识与个性认知层阶发展;2.小学生心智转换与发展;3.切合核心素养结构发展。

知识原点新知学习关键元素课时安排单元整体领域分布学科之外直观操作描述分析抽象概括实践应用

知识技能过程方法情感态度思想价值素养结构知识结构认知结构小学数学结构化学习原理分析1.原理分析体系梳理结构理解问题发现情境感知连续直观经验逻辑意义学科价值多远表征环境支撑关联实际意义知识结构个体知识反思创新认知结构循环发展心智2.知识结构核心元素核心元素核心元素核心元素核心元素3.课时知识点（概念知识）知识过程认知过程想象抽象表象具象情境经验数学新境直观感知拓展演绎模型建构多元表征学科过程单位“1”乘法内涵外延等分的基本单位1个物体1个计量单位许多物体组成的一个整体分数的意义整数除法率商不变的规律任意量倍比关系离散量分总分比关系连续量分总分比关系分数大小比较量分数的分类分数单位整小分互化分数的基本性质约分通分标准等分倍比整除不能整除比的前项比和比例百分数倍被除数比的后项除数分子分母4.单元知识概念概念节点节点分数的意义分数与除法的关系求一个数是另一个数的几分之几真分数、假分数、带分数分数与小数的互化分数的基本性质分数的意义分数与除法的关系等分除法……分数单位单位“1”单元内容课时1课时2课时3课时……100以内加减法正比例和反比例比例百分数分数四则混合运算分数除法分数乘法分数的加法和减法分数的意义和性质分数的初步认识（二）分数的初步认识（一）表内除法减法（连续减去相同的数）一下第一单元六下第六单元二上第四单元六下第四单元六上第六单元六上第五单元六上第三单元六上第二单元五下第五单元五下第四单元三下第七单元三上第七单元认识平均分认识几分之一/几比较两个几分之一的大小/同分子分数的大小同分母分数的加减法用分数表示整体的几分之一/几求整体的几分之一/几是多少分数的意义和分数单位分数与除法的关系分数与小数互化真分数与假分数分数的基本性质约分通分分数的大小比较异分母分数的加法、减法计算反比例的意义分数加减混合运算分数与整数相乘分数与分数相乘分数连乘及实际问题认识倒数，求一个数的倒数分数除以整数整数除以分数分数除以分数比的基本性质比的意义化简比分数四则混合运算稍负责的分数乘法实际问题百分数的意义和读写百分数与小数分数的互相改写求百分率的实际问题图形的放大与缩小认识比例比例的基本性质解比例比例尺的意义及应用正比例的意义及图像第1单元第2单元第3单元第…单元一、简易方程二、折现统计图三、倍数与因数四、分数的意义和性质五、分数的加减法六、圆七、解决问题的策略八、整理与复习5x=32x=6分数的意义分数的大小比较约分、通分分数的基本性质分数与小数的互化假分数化成整数或带分数真分数和假分数求一个数是另一个数的几分之几分数与除法的关系苏教版五下第四单元分数的意义和性质5.单元间知识（大概念）节点节点横向融通纵向连贯单元1单元1单元2单元3单元3分数分数元素特征单位“1”平均分的份数这样的若干份被平均分的对象一个物体、整体、计量单位、图形除数分母比的后项除法关系被除数分子比的前项图形与几何数与代数统计与概率共性应用分数的意义双螺旋结构分数四则运算分数关系分数大小整数大小比较认识几个几认识倍整数分成平均分认识除法结果的大小倍比的关系连续量等分后个数层面部分与整体的倍比关系无零余结果用整数表示连续量等分后份数层面部分与整体的倍比关系离散量等分后子集与集合的倍比关系有零余结果用分数或小数表示任意两个量的倍比关系百分数分数与整数、小数互化分数的性质和大小比较比比例除法等分分数的意义平均分除法分数的初步认识百分数思维结构发展的学习机理借鉴《小学数学教育》徐文彬老师单元结构化研究形式演绎概括抽象程序描述直观操作反思想象模型应用逻辑推理一般抽象表象描述具象感知真实情境知识结构知识概念模型结构顺序层级概念框架知识元素知识经验知识结构建构过程认知结构发展过程6.认知结构思维结构发展的学习机理形式演绎概括抽象程序描述直观操作内比想象连贯用构对比分析物图符合离散到连续分数在1与“1”中关联建构正反演绎几、几十几等到几分之几整数计数物体数量结构整数数物体整体整分小数分数概念图模型符号模型整、分数融通整数、分数单位、多少一个一个数群数知识结构建构过程认知结构发展过程转化结构中心的转化转移转换转变物→形→数模型化数学化生活化具体→符号符号→具体融合整体应用与创新发现相同点同类不同事形象三、实践学理分析——小学数学结构化学习原理观照1.（1）知识结构分析：单元知识结构梳理圆的认识统计与概率图形与几何数与代数例1、例2：圆的认识直径、半径、对称轴的数量圆的名称及其特征认识圆的直径、半径的符号表达及其数量关系例11：简单组合图形的面积例10：圆面积的应用例7、例8、例9：圆的面积例4、例5、例6：圆的周长例3：扇形的认识学理分析——小学数学结构化学习原理观照1.（2）知识结构分析：大单元知识结构横向梳理一八七六二三四五圆的认识六下圆柱和圆锥六上正方体和长方体一上认识图形（一）一下认识图形（二）二上平行四边形的初步认识二下角的初步认识三上长方形和正方形三上平移、旋转和轴对称三下长方形和正方形的面积四下平移、旋转和轴对称四下三角形、平行四边形和梯形五上多边形的面积简易方程折线统计图因数与倍数分数的意义和性质分数加法和减法解决问题的策略整理与复习单元知识层阶立体图形（实物）轴对称图形——圆圆柱和圆锥长方体和正方体圆多边形的面积三角形平行四边形梯形垂线和平行线角的初步认识平行四边形的认识认识图形（二）认识图形（一）一上第六单元九上第二章一下第二单元六下第二单元六上第一单元五下第六单元五上第二单元四下第七单元四上第八单元三下第六单元二下第七单元二上第二单元平面图形多边形的认识平行四边形的认识圆角的认识角的分类长方形和正方形的认识周长的认识周长的应用面积的认识面积单位长方形和正方形的面积公式面积单位之间进率认识射线直线和角确定圆的条件角的度量三角形的认识三角形三边关系三角形内角和三角形分类（1）（2）平行四边形面积公式三角形面积公式梯形面积公式认识平方千米认识公顷组合图形面积圆的认识扇形的认识长方体和正方体的认识侧面展开图圆柱和圆锥的认识圆柱的侧面积和表面积圆柱的体积圆锥的体积圆的对称性长方形和正方形的面积长方形和正方形的认识三上第三单元圆柱认识平角和周角量角器画角认识并画垂线、平行线平行四边形、梯形的认识圆周角的认识圆周长的计算圆面积公式推导圆面积计算圆环面积计算表面积计算认识体积容积认识体积单位体积单位进率圆周角直线与圆的关系正多边形和圆弧长及扇形面积学理分析——小学数学结构化学习原理观照1.（3）知识结构分析：大单元知识结构纵向梳理2.认知结构分析统计与概率曲线点线面体曲线图形直线线段射线垂直与平行角多边形直线图形多面体旋转体面积周长轴对称中心对称……体积容积展开图表面积侧面积曲线围成围成封闭曲直直线围成围成不封闭封闭围成旋转…………排列直的排列曲的……圆数与代数面积周长扇形圆心角直径半径圆心基本组成图形与几何旋转儿童思维结构形式思维抽象思维程序思维直观思维车轮为何为圆，窖井盖圆，问题梳理，促进学会学习与直线图形比，与曲线图形比，圆的认识发现圆的元素联系看正方形、长方形、圆看圆、摸圆、实物、几何图、圆规、圆规画圆，体会圆面上、体上，生活中实物，平面图形、球、圆柱、圆锥点、线成面，直线图形-曲线图形，长方形-正方形-圆延伸圆的边际性知识，开放心智，结构文化体系整体结构圆的模型体会到圆对称、对称轴及数量曲线围成圆的元素结构关联整体体悟成圆的方法与思想感受生活中的圆曲线图形圆是生活数学结构化的产生3.思维结构分析小学数学结构化学习学情调研图解学情调研反馈行知材料分析课堂观察问卷调查知识丨认知丨情意学后学中学前连续丨关联丨循环应用丨反思丨改进反馈调控诊断整体性关联性发展性工具活动情境学情教材学理学材开发学科育人课程标准社会需求小学数学结构化学习学材开发图解教师的理解学生的体验学材开发突出：

1.贴近学生的旧知经验，优化学习的真实情境，并将情境转化为富有儿童数学学习的情景与情节，改变平静被动的简单学习；

2.弄懂元素间内在联系，看清其序列、拓扑与关联的结构，激发学生有情有意地真正进入意义学习，动态立体地设计与组织好学习的层阶活动，包括学习进入的结构突破、学习项目的结构过程与学习资源的结构呈现，改变平铺直叙的形式教学；

3.融通应用知识的整体与系统，促进学习能级目标循环上升，改变平面重复的解题练习。如何创造技术？从学生学的角度理解教的创造设计——价值目标、课程内容、理解过程、表达方法、模型建构、应用拓展……

1.简洁的使用；

2.过程的活动；

3.奇妙的贴近；

4.想象的支撑；

5.理解的模型；

……学材开发——小学数学结构化学习资源优配1.基于儿童视角:从学生学的角度理解教的创造设计2.基于课程需求:价值目标、课程内容、理解过程、表达方法、模型建构、应用拓展……3.促进教师理解:创造、创新4.学程设计基于核心素养元素发现与理解小学数学结构化学习导图学情、学材、学理、学程、学评——“五学”融合价值转换在素养结构中在认知结构中在知识结构中核心元素过程转变形式转移循环关联连续关心课前学情，找准新知起点，创设问题情境，感知整体连续，激发认知情意。

此岸在哪里？

关注课中学情，运用恰当表征，促进思维可视，发现元素转化，转变认知结构，回应认知情感。

如何到彼岸？

融合纵横应用，深化模型延展，回归生活经验，联结新生问题，调控认知情绪，关切课后学情。

将到哪里去？5.学评调节学评调节发展水平数学认知数学知识元素概念结构丨主题单元结构丨大概念领域结构丨跨领域整体结构动作感知思维丨程序描述思维丨概念符号思维丨模型结构思维序结构丨代数结构丨拓扑结构丨组合结构知识结构化思维结构化认知结构化基于“一课通百课通与课课不同课课融通”的教学格局情境活动评价连续开局：整体化地设计进入1.真实情景，寓含知识结构、认知结构；

2.知识源头，学习的最近发展区；3.认知起点，方式方法的接头。真实情景连续旧知模型结构的理解。核心概念，发现结构。沉浸体验其中关联布局：一体化地组织实施1.先后关联，一个例子的内容展开；2.认知层级，方式方法，多元表征；3.综合活动，思考个人、小组、集体适宜形式。问题解决关联新知模型结构的建立。核心任务，创造结构。专注体悟其中循环结局：系统化地融通融合1.丰富可能，你还见过什么类似，举例说明；2.回归课始，变化联系联想；3.认知完善，自我元认知水平提升与未知关联想象。综合应用循环整体思维的结构开放。核心素养，深化结构。连贯体会其中小学数学结构化学习学评调节评价标准和工具评价维度评价内容评价标准A(优秀)B（良好）C（合格）知识结构数学概念、原理的记忆、理解、概括、运用等。1.能准确抽象出数学概念、原理，并建构结构模型。2.能用各种表征解释数学概念的内涵和外延。3.能灵活迁移应用数学概念、原理解决复杂实际问题。1.能描述数学概念、原理。2.能够根据知识前后关联理解概念内涵和外延。3.能应用数学概念、原理解决实际问题。1.能够认识数学基本概念、原理。2.能简单应用数学基本概念、原理。思维结构学生的数学认知结构和认知发展水平。1.能从抽象思维上升到形式思维，能解释和表达数学概念。2.能开展创造性数学活动，展开创造性思维。1.能从直观思维上升到程序思维和抽象思维，体现思维的整体性。2.能把单元整体知识进行系统思考，整体关联地解决相关问题。1.有独立的思考能力，能解决一些简单的数学问题。2.能借助直观表象展开思维，掌握数学知识。表征结构学生数学多元表征的结构化水平和表征转换水平。1.表征处于关联结构或抽象拓展结构水平。2.能够灵活实现多元表征转换。1.表征处于多点结构水平。2.能够灵活实现多元表征转换。1.表征处于单点结构水平。2.不能实现多元表征转换。学评反馈——小学数学结构化学习精准把握学评反馈就是结构化教学的目标是否达成。我们倡导结构化教学（或学习），是为了把零碎的知识、方法、思维统整起来，形成互相关联的结构整体。小学数学结构化教学评价关注两个维度