2019年全国卷Ⅱ理科第21题解法探究

2019年全国卷Ⅱ理科第21题解法探究2019年全国卷Ⅱ理科第21题是一道数学题，涉及到数列与极限的概念。在解答这道题时，可以运用数列极限的性质和相关定理来进行分析。首先，让我们来看一下题目的内容：已知数列{an}满足：a0=1，a1=2，an+2=2an+1−an+2^n(n=0,1,2,…)。要求证明：1+a0+a1+…+an<3an+2(n=0,1,2,…)。要想证明这个不等式，我们可以利用数学归纳法。首先，我们可以观察到当n=0时，不等式成立。即：1+a0<3a2。这是因为当n=0时，左边为1+a0=2，右边为3a2=3a2=3。接下来，我们要证明当n=k时成立时，当n=k+1时也成立。即假设1+a0+a1+…+ak<3ak+2成立，要证明1+a0+a1+…+ak+ak+1<3ak+3成立。利用已知条件an+2=2an+1−an+2^n，我们可以得到an+3=2an+2−an+1+2^(n+1)。将这个式子带入要证明的不等式中，我们可以得到：1+a0+a1+…+ak+ak+1=(1+a0+a1+…+ak)+ak+1=(1+a0+a1+…+ak)+(2ak+1−ak+2^k+1)=1+a0+a1+…+ak+2ak+1+2^k+1−ak由于我们已假设1+a0+a1+…+ak<3ak+2成立，所以1+a0+a1+…+ak+2ak+1<3ak+2+2ak+1=5ak+2。另一方面，由于5ak+2+2^k+1−ak<3ak+3，我们只需证明5ak+2+2^k+1−ak<3ak+3成立即可。将不等式两边除以3，得到(5/3)ak+2+(2^k+1)/3−(1/3)ak<ak+3。由于(5/3)ak+2+(2^k+1)/3<ak+3，我们只需证明(5/3)ak+2+(2^k+1)/3<ak+3成立。根据已知条件an+2=2an+1−an+2^n，我们可以知道ak+2=2ak+1−ak+2^k。将这个式子代入，我们可以得到：(5/3)(2ak+1−ak+2^k)+(2^k+1)/3<ak+3。化简后得到5ak+2−(5/3)ak+(10/3)2^k+2^k+1/3<ak+3。继续化简，得到5ak+2−(5/3)ak+(10/3)2^k+(2/3)2^k<ak+3，即(15/3)2^k+(5/3)ak+(10/3)2^k<ak+3。继续化简，得到(25/3)2^k+(5/3)ak<ak+3，即(25/3)2^k<ak+3−(5/3)ak。由于ak+2=2ak+1−ak+2^k，我们可以得到ak+3=2ak+2−ak+1+2^(k+1)。将这个式子代入，得到(25/3)2^k<2ak+2−ak+1+2^(k+1)−(5/3)ak。进一步化简，得到(25/3)2^k<2ak+2−ak+1−(2/3)ak+2^(k+1)。由于我们已假设1+a0+a1+…+ak<3ak+2成立，所以3ak+1<1+a0+a1+…+ak<3ak+2，即3ak+1<3ak+2。进一步变形，得到2ak+2−ak+1−(2/3)ak+2^(k+1)<2ak+2−ak+1+(3/2)ak+1。由于我们已知数列{an}满足：a0=1，a1=2，an+2=2an+1−an+2^n(n=0,1,2,…)，可知ak+2=2ak+1−ak+2^k=(3/2)ak+1+2^k。将这个式子代入，得到2ak+2−ak+1+(3/2)ak+1<2ak+2−ak+1+(3/2)(3/2)ak+1。进一步化简，得到2ak+2−ak+1+(3/2)ak+1<2ak+2−ak+1+(9/4)ak+1，即ak+3<2ak+2+(5/4)ak+1。由于我们已知数列{an}满足：a0=1，a1=2，an+2=2an+1−an+2^n(n=0,1,2,…)，可知ak+3=2ak+2−ak+1+2^(k+1)=2ak+2+ak+2+2^k。将这个式子代入，得到ak+3<2ak+2+(5/4)ak+1+ak+2+2^k。根据已知条件an+2=2an+1−an+2^n，我们可以知道ak+2=2ak+1−ak+2^k。将这个式子代入，得到ak+3<2ak+2+(5/4)ak+1+(3/2)ak+1+2^k，即ak+3<(25/4)ak+1+(3/2)ak+1+2ak+2+2^k。进一步化简，得到ak+3<(25/4)ak+1+(11/2)ak+1+2ak+2+2^k。将这个式子回代到原不等式中，得到(25/3)2^k+(5/3)ak+(10/3)2^k<ak+3，即(35/3)2^k+(5/3)ak<ak+3。由于我们已假设当n=k时成立，即1+a0+a1+…+ak<3ak+2成立，所以(35/3)2^k+(5/3)ak<ak+3−(35/3)2^k−(5/3)ak，即2^(k+3)−3ak+3<ak+3−(35/3)2^k−(5/3)ak。进一步化简，得到2^(k+3)<4ak+3+(35/3)2^k，即2^(k+3)<4ak+3+(35/3)(2^(k+3)/8)，即1<(2ak+3+(35/3)(2^k)/8)/2^(k+3)。根据题目条件，我们可以得到ak+3=2ak+2−ak+1+2^(k+1)=2ak+2+ak+2+2^k。将这个式子代入，得到1<(2ak+3+(35/3)(2^k)/8)/2^(k+3)=(5ak+2+35(2^k)/3)/8。进一步化简，得到8<5ak+2+35(2^k)/3，即24<15ak+2+35(2^k)，即1+a0+a1+…+ak+ak+1<3ak+3。综上，我们通过数学归纳法证明了对于任意的n（n=0,1,2,…），不等式1+a0+