四川省成都市东郊中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市东郊中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（

）（A）8，8（B）9，7

（C）10，6（D）12，4参考答案：B略2.“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A3.将函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）

参考答案：A4.设集合,,则 参考答案：由交集的概念可知选.5.若，则下列各式正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：6.执行如图所示的程序框图，如果输入的n=2018，则输出的S=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.设集合，集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A8.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为3，则最后输出的结果是(

)A.6

B.21

C.231

D.5050参考答案：C运行程序，，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故选C.

9.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）＜f（x）+ex，其f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底且f（0）＝2，则关于x的不等式f（lnx）＞xlnx+2x的解集为（

）A.（0，+∞） B.（1，+∞） C.（0，1） D.（0，e）参考答案：C【分析】构造函数g（x）x，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出不等式的解集．【详解】∵f′（x）＜f（x）+ex，∴1＜0，设g（x）x，∴g′（x）1＜0，∴g（x）在R上单调递减，∵f（0）＝2，∴g（0）0＝2，∵f（lnx）＞xlnx+2x，∴lnx+2．即lnx＞2，∴g（lnx）＞2＝g（0），∴lnx＜0，∴0＜x＜1，故选：C．【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，．若点在的角平分线上，满足，且，则的取值范围是

．参考答案：试题分析：如下图，以为坐标原点，所在直线作轴建立平面直角坐标系．则可知，直线：，可设，其中，由得，，所以，所以．由可得：，即，所以．12.设表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集是______________.参考答案：

13.若的面积为，，，则角为_______________。参考答案：略14.从中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是_______

．(用数字作答）

参考答案：60

略15.已知，那么用a表示是.___________参考答案：16.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e=，故答案为：．17.（3分）计算=．参考答案：2考点：二阶矩阵．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．解答：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）曲线上存在两点、，使得△是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.参考答案：当时，，当时，恒成立，，此时在上的最大值为；当时，在上单调递增，且.令，则，所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.综上可知，当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为. ⑶，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设 ，，.若，则，由是直角得，，即，即.此时无解； 若，则.由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即.同理有，即， .由于函数的值域是，实数的取值范围是即为所求.19.设椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为，的周长为16．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：O，M，N三点共线.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．【详解】（Ⅰ）解：由题意知，，．又，，，椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设，，．则，，相减得，，即，即，；同理可得，，所以O，M，N三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．20.（12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，为PC上的点，过AH的平面分别交于点M，N，且MN∥平面ABCD．（1）证明：；（2）当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为30°，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．参考答案：（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．……………6分（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，所以，…………9分记平面的法向量为，，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．…………12分

21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求cosC的值；

（2）若，求△ABC的周长.参考答案：22.设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．

①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．参考答案：（1）由题意，对恒成立，因为，所以对恒成立，因为，所以，从而．

……3分（2）①，所以．

若，则存在，使，不合题意， 所以．

……5分

取，则．

此时．

所以存在，使．

……8分②依题意，不妨设，令，则．

由（1）知函数单调递增，所以．

从而．

……10分