江苏省连云港市博文中学高三数学文下学期摸底试题含解析

江苏省连云港市博文中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为(

) A． B．4 C． D．9参考答案：C考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答： 解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．2.设，，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得，，所以.故选.【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题3.定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣∞，1]，则A∩?RB=[0，1]．故选：B．4.在各项均为正数的等比数列{an}中，若log2（a2?a3?a5?a7?a8）=5，则a1?a9=（）A．4 B．5 C．2 D．25参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知推导出a2?a3?a5?a7?a8=a55=25=32，从而a1?a9=．【解答】解：∵在各项均为正数的等比数列{an}中，log2（a2?a3?a5?a7?a8）=5，∴a2?a3?a5?a7?a8==25=32，∴a5=2，a1?a9=．故选：A．5.已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b为常数，a≠0,x∈R)在处取得最小值，则函数是A.偶函数且它的图象关于点对称

B.偶函数且它的图象关于点对称C.奇函数且它的图象关于点对称D.奇函数且它的图象关于点对称参考答案：D7.M是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.其中真命题是（

）A．②③④

B．①③④

C．①②④

D．①②③参考答案：C略8.计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i参考答案：A【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解：===2，故选A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．

9.是虚数单位，复数等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.下列结论正确的是-----(

)A．当且时，

B．当时，的最小值为2C．当时，无最大值

D．当时，参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则_____．参考答案：612.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________________。参考答案：13.在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|+|y|≤2的概率为

.参考答案：14.已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是．参考答案：[2，1+]【考点】函数的值域．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是[﹣1，1]，得到k的范围，再由y=x3﹣3x2+3的图象，结合函数的值域[﹣1，1]，从而得到a的取值范围．【解答】解：由于y=log2（2﹣x）在[0，k）上是递减函数，且x=0时，y=1，x=时，y=﹣1，故0＜k≤，画出函数f（x）的图象，令x3﹣3x2+3=1，解得x=1，1+，1﹣（舍去），令g（x）=x3﹣3x2+3，则g′（x）=3x2﹣6x，由g′（x）=0，得x=0或x=2．∴当x=2时，函数g（x）有极小值﹣1．由于存在k使得函数f（x）的值域是[﹣1，1]，故a的取值范围是[2，1+]．故答案为[2，1+]．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性和值域，考查数形结合的能力，属于中档题．15.为虚数单位，则复数的虚部是

．参考答案：16.等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为

．参考答案：6【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x?2x?=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．17.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】首先画出可行域，z=?代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=?=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)已知数列满足，且，为的前项和.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）根据已知条件变形可得,根据等比数列的定义可知数列为等比数列.从而可得.（Ⅱ）根据等比数列的前项和先求.再将变形恒成立.令,讨论的单调性求其最大值.只需即可.试题解析：解：（I）由题意得则成等比数列,首项为，公比为

………4分故

…………6分考点：1构造法求数列的通项公式;2等比数列的前项和.19.（本小题满分13分）在锐角中，三内角所对的边分别为．设，（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）求的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）即,,

……3分由得

时，舍去，

…………………5分.

……7分（Ⅱ）

……………9分

……11分当且仅当时取等号

.

………………13分略20.已知等差数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.参考答案：解：（1），当时，，当时，，又∵是等差数列，∴，∴；（2）.∴.当且逐渐增大时，增大.∴.21.已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）最小值为，最大值为；（2）见解析；（3）（﹣1，0）【分析】（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为．又，，∴．所以函数在区间上的最小值为，最大值为．（2）由题意得，．①当，即时，恒成立，∴在上单调递减．②当时，恒成立，∴在上单调递增．③当时，，由得，或（舍去），∴在上单调递减，在上单调递增．综上可得，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减．（3）由（2）可得，当时，，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，∴，又，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符