吉林省长春市市宽城区四十八中学高三数学理摸底试卷含解析

吉林省长春市市宽城区四十八中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数z1=3+i,z2=1-i,则复数的虚部为A.2

B.-2i

C.-2

D.2i参考答案：A略2.不等式≥2的解集为(

)A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．【解答】解：????﹣1≤x＜0故选A【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．3.设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为(

)(A)8

(B)4

(C)2

(D)参考答案：A4.某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（

）A．

1

B．

2

C.

3

D．4参考答案：A5.已知复数，则

等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.如果，那么的值是 A．—1 B．0 C．3 D．1参考答案：7.不等式logax＞sin2x(a＞0且a≠1)对任意x∈(0，)都成立，则a的取值范围为A(0，)

B(，1)

C(，1)∪(1，)

D[，1)参考答案：D8.函数f（x）对任意实数x都满足条件f（x+2）f（x）=1，若f（2）=2，则f（2016）A．B．2C．D．2016参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【分析】求出函数的周期，利用已知条件求解即可．【解答】解：∵f（x+2）f（x）=1，∴f（x）≠0，且f（x+4）f（x+2）=f（x+2）f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，f（2）=2，则f（2）f（0）=1，可得f（0）=，故f（2016）=f（0）=，故选：A．9.下列函数中，最小值为2的是()．A.y=，x∈R，且x≠0 B.y=lgx+，1＜x＜10C.y=3x+3-x，x∈R D.y=sinx+，参考答案：C略10.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)所得出的正确结果一定不可能是(A).4和6

(B).1和2

(C).2和4

(D).3和1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2，分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与所成的角的余弦值为

参考答案：12.（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形中，，，以为直径的圆交边于点，，则的大小为

．

参考答案：略13.已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，.其中正确的是__________（将所有你认为正确的序号填在横线上）．参考答案：略14.已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，当，且时，有，若对所有、恒成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：

15.若实数、满足约束条件则的最大值是．参考答案：616.已知是定义在上且周期为的函数,当时，.若函数在区间上有个零点(互不相同)，则实数的取值范围是_________.参考答案：略17.点P（－1，－3）在双曲线的左准线上，过点P且方向为的光线经直线y=2反射后通过双曲线的左焦点，则此双曲线的离心率为

。参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；（2）设，已知在(0,+∞)上存在两个极值点，且，求证：（其中e为自然对数的底数）．参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）函数关于原点对称的函数解析式为．函数与的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程在有解．即，，令，，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．，,，，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，即的图像与函数的图像有交点，即在上有解.即在上有解.设，（），则当时，为减函数；当时，为增函数，所以，即.（2），在上存在两个极值点，，且，所以因为且，所以，即设，则要证，即证，只需证，即证设，，则在上单调递增，，即所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19.（14分）（2015?泰州一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG?平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）∵AC?平面ABCD∴FG⊥AC，∵，，∴OG∥EF，OG=EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）【点评】：本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．20.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，O为中点。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：如图，连接，

则四边形为正方形，

，且

故四边形为平行四边形，，

又平面，平面

平面

……..6分（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，…………..8分，设为平面的一个法向量，由，得，令，则………..10分又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为……..12分注：第2问用几何法做的酌情给分。21.

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生王某在本科期间共申请了元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到元.王某计划前个月每个月还款额为，第个月开始，每月还款额比前一月多元.（Ⅰ）用和表示王某第个月的还款额；（Ⅱ）若王某恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求的值；（Ⅲ）当时，王某将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费？（参考数据：）参考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差数列，其中，公差为.

从而，到第个月，王某共还款

令，解之得（元）.即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元.

（Ⅲ）设王某第个月还清，则应有整理可得，解之得，取.

即王某工作个月就可以还清贷款.这个月王某的还款额为（元）第32个月王某的工资为元.因此，王某的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求.

略22.已知曲线，曲线C2：（1）写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由曲线C1的普通方程能写出曲线C1的参数方程，由曲线C2的参数方程能写出曲线C2的普通方程．（2）C1与C2联立，利用根的判别式得到椭圆C1与直线C2无公共点，再求出椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离，由此利用三角函数知识能求出点P到C2上点的距离的最大值，并能求此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵曲线，∴曲线C1的参数方程：