吉林省长春市市第十八中学高三数学理期末试卷含解析

吉林省长春市市第十八中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）A．36

B．33

C．32

D．31

参考答案：D∵，∴，故，又，∴，∴，，，故选D．2.已知集合，则

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A。命题意图：考查学生对描述法表示集合的理解及集合的运算。3.设全集U=R，集合，则集合A∩（?UB）=（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜﹣3} C．{x|﹣3＜x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A，?UB，从而求出其交集．【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，∵B={x|x≤﹣1}，∴?UB={x|x＞﹣1}，∴A∩（?UB）={x|﹣1＜x＜0}，故选：D4.函数的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间，使得函数满足：①内是单调函数；②上的值域为，则称区间为的k级“理想区间”.下列结论错误的是A.函数存在1级“理想区间”B.函数不存在2级“理想区间”C.函数存在3级“理想区间”D.函数不存在4级“理想区间”参考答案：D5.正方体ABCD–A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为 参考答案：C取DD1中点F,连接AF,C1F.平面AFC1E为截面。如下图：所以上半部分的正视图，如A选项，所以选A.

6.函数为增函数的区间是

参考答案：7.在区间内的所有零点之和为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是增函数，那么在[1，3]上是(

)

A.增函数

B.减函数

C．先增后减的函数

D.先减后增的函数参考答案：C略9.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是（

）

参考答案：C10.已知，则直线与圆的位置关系为（）A．相离

B．相切

C．相交

D．不确定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.己知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为▲。参考答案：略12.设区域，区域，在区域中随机取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为__________参考答案：略13.定义域为的函数满足，当时，

，若时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：-1≤t≤314.已知函数是奇函数，当时，则当时，

▲

。参考答案：略15.已知向量，向量，若，则实数的值为

参考答案：216.已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.参考答案：3略17.已知A为曲线C：4x2﹣y+1=0上的动点，定点M（﹣2，0），若，求动点T的轨迹方程．参考答案：【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A（x0，y0），T（x，y），利用条件，到点A与点T坐标间的关系式，由此关系式代入点A所满足的方程y0=4x02+1，消去x0和y0，转化为x、y的方程．【解答】解：由题意，设A（x0，y0），T（x，y），∵定点M（﹣2，0），，∴（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），∴x0=3x+4，y0=3y，∵A为曲线C：4x2﹣y+1=0上的动点，∴y0=4x02+1，∴4（3x+4）2﹣3y+1=0，即为所求轨迹方程．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查用代入法求轨迹方程，关键是理解题意，将向量条件转化为坐标关系．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立?x2﹣kx+k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求AB所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，∴p=，∴抛物线E：y=x2，…（3分）∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）联立?x2﹣kx+k=0…（8分）又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…（15分）【点评】本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．19.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.参考答案：（1）是参数，；（2）【分析】（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；（2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且，半圆的圆心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由此能求出点的坐标.【详解】（1）由，得，所以C的参数方程为为参数（2）【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.20.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】首先把曲线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把直角坐标方程转化成极坐标方程．【解答】解：曲线C的参数方程为（α为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，进一步转化成极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ，整理得：ρ=2cosθ．21.已知函数，．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程．（Ⅱ）求的单调区间．（Ⅲ）设，其中，证明：函数仅有一个零点．参考答案：（Ⅰ）∵，，∴．，∴在处切线为，即为．（Ⅱ）令，解出，令，解出．∴的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅲ），．令，解出或，令，解出．∴在单调递增在单调递减，在单调递增．极大值，极小值，∵在时，极大值小于零，在时，极小值小于零．在，单调递增，说明在无零点，在有一个零点，∴有且仅有一个零点．22.设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对任意都有成立，求实数的取值范围．参考答案：解析：（Ⅰ）∵

函数是定义在R上的奇函数，∴

∵

∴

．又在处的切线方程