湖南省株洲市炎陵县十都镇中学高一数学理期末试卷含解析

湖南省株洲市炎陵县十都镇中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若，，，则角B的大小为（

）A.30° B.45°或135° C.60° D.135°参考答案：B【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】在△ABC中正弦定理：或故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.2.命题，，则是（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：C【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题.【详解】命题，，由全称命题的否定可知，命题，.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题.3.如图所示程序框图，能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是

（

）

B.

C.

D.参考答案：A略4.设,,,则,,的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，因为，所以，所以，故选D

5.已知集合A=，B=，则＝（

）

A.(0,1)

B.(0,)

C.(,1)

D.参考答案：B6.若样本+2，+2，，+2的平均数为10，方差为3，则样本2+3，2+3，…，2+3，的平均数、方差、标准差是

（

A）。A．19，12，

B．23，12，

C．23，18，

D．19，18，参考答案：A7.已知在等比数列中，，，则(

)A．±3

B．3

C.±5

D．5参考答案：B8.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P=故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程

（

）A、至少有一根

B、至多有一根C、有两个不等的根

D、有无数个互不相同的根参考答案：B10.已知已知定义在上的偶函数在上是单调增函数，若，则的范围为

▲

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：函数对称轴，最小值令，则恒成立，即在上.，在单调递增，，解得，即实数的取值范围是

12.定义运算

已知函数，求

；参考答案：413.某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第

天？参考答案：25【考点】分段函数的应用．【分析】先设日销售金额为y元，根据y=P?Q写出函数y的解析式，再分类讨论：当0＜t＜25，t∈N+时，和当25≤t≤30，t∈N+时，分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．【解答】解：设日销售金额为y（元），则y=p?Q．∴=当0＜t＜25，t∈N，t=10时，ymax=900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t=25时，ymax=1125（元）．由1125＞900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大14.已知，则]的值___________参考答案：-315.函数的最大值为__________．参考答案：2函数，∴函数在上单调递减，故当时，的最大值为．16.设函数，则

，使得的实数的取值范围是

．参考答案：4，；当时，，得到；当时，，得到，所以17.对于n∈N*，将n表示为n＝a0×3k＋a1×3k－1＋a2×3k－2＋…＋ak－1×31＋ak×30，当i＝0时，ai＝1或2，当1≤i≤k时，ai为0或1或2.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×30，20＝2×32＋0×31＋2×30，故I(1)＝0，I(20)＝1)，则I(55)＝____参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（每小题4分，满分8分）解关于的不等式

（1）（2）参考答案：解关于x的不等式.ks5u

(1)

解：当0<a<1时，y=ax在定义域上单调递减.ks5u

解得：

当a>1时，y=ax在定义域上单调递增.

解得：或ks5u

综上：原不等式的解集为：当0<a<1时，}；

当a>1时，或}.

（2）解：要使原不等式有意义，需满足解得：或

又在（0，+）上单调递减，

解得：-2<x<7

综上：原不等式的解集为：（-2,1）.略19.已知函数的图象过点，，．（1）求，的值；（2）若，且，求的值；（3）若在上恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据，，两点可确定，的值；（2）由（1）知，，求出，的值，然后根据，求出其值即可；（3）在，上恒成立，只需，求出在，上的最大值即可．【详解】（1）由得：，即，由知，，，由得：，即，即，由得，，所以；（2）由得：，即，由得：，（3）由得：，当时，，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数值的求法，以及在闭区间上的三角函数的值域问题的求法，意在考查学生整体思想以及转化与化归思想的应用能力。20.已知函数，.（1）解关于x的不等式；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）先将不等式化为，根据题意，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；（2）要使在上恒成立；只须时，的最小值大于零；分别讨论，，三种情况，即可求出结果.【详解】（1）因为即，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为.（2）要使在上恒成立；只须时，的最小值大于零；①当，即或时，函数在上单调递减，由在上恒成立，可得，解得，因为，所以不满足题意；②当时，根据二次函数的性质可得，函数在取最小值，且最小值为，显然，不满足题意；③当，即时，函数在上单调递增，由在上恒成立，得，解得，综上所述.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式解法即可，属于常考题型.21.（本题满分12分）已知向量＝(sinx,-cosx)，＝(cosx,cosx)，设函数f(x)＝×＋．(1)写出函数f(x)的最小正周期；(2)若x?[,]，求函数f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值；参考答案：解：由已知得f(x)＝×＋＝＋

……2分＝sin2x－＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．

……6分

(1)f(x)的最小正周期为T＝＝p．

……8分

(2)∵≤x≤，∴≤2x－≤．∴≤sin(2x－)≤1．

……10分

∴f(x)的最大值为1，当且仅当x＝时取得最大值．

……12分22.（14分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MN⊥CD．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题： 证明题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知NE∥CD且，AM∥CD且，则AM∥NE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AE∥MN，又因AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，根据线面平行的判定定理MN∥平面PAD．（Ⅱ）根据PA⊥矩形ABCD则PA⊥CD，又因四边形ABCD为矩形则AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，又因AE?在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CD⊥AE，根据AE∥MN，可知MN⊥CD．解答： 证明：（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE，∵M、N分别为AB、PC的中点∴NE∥CD且