辽宁省阜新市第二高级中学高三数学理摸底试卷含解析

辽宁省阜新市第二高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，以下命题中假命题是（

）A．函数f(x)的图象关于直线对称

B．是函数f(x)的一个零点C.函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位得到D．函数f(x)在上是增函数参考答案：C2.（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为A．x=l

B．

C．

D．参考答案：C4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B5.设（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.2参考答案：A分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．详解：∵复数．．

故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则

A.-2或2

B.-9或3

C.-1或1

D.-3或1参考答案：【知识点】导数与极值

B12【答案解析】A

解析：求导函数可得令，可得；令，可得；∴函数在上单调增，在上单调递减∴函数在处取得极大值，在处取得极小值∵函数的图像与轴恰有两个公共点∴极大值等于0或极小值等于0∴∴故选A．【思路点拨】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数的图象与轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求的值7.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和动直线l：y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA?kOB=恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0） B．（﹣2p，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】AB的方程与抛物线方程联立，消去y，由根与系数的关系，利用kOA?kOB=，求出b的值，即可得出直线AB过定点．【解答】解：将直线与抛物线联立，消去y，得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0，∴x1+x2=，x1x2=；∵kOA?kOB=，∴y1y2=x1x2，∴y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=；∴=?，解得b=，∴y=kx+=k（x+）令x=﹣，得y=0，∴直线过定点（﹣，0）．故选D．8.已知函数为奇函数，且当时，，则（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略9.在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为（

）A.

B.1

C.2

D.3参考答案：B略10.＝（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据复数的乘法运算法则计算即可.【详解】解：.故答案选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“”是“”的

条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一。）参考答案：充分非必要条件12.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是

．参考答案：（，]．【考点】向量的模．【分析】由题意，A、B1、P、B2构成矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x2+y2的取值范围，再求||的取值范围．【解答】解：根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；由||=||=1，得，则；∵||＜，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜，∴1﹣y2+1﹣x2＜，∴x2+y2＞；①又∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1；同理x2≤1，∴x2+y2≤2；②由①②知＜x2+y2≤2，∵||=，∴＜||≤．故答案为：（，]．13.设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则双曲线C的离心率是

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2．故答案为：2．14.若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于．参考答案：5【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】二项式项的公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由题意的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令=0，得n=，当r=4时，n取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．15.已知锐角、满足，则

．参考答案：316.已知为等差数列{}的前n项和，若＝1，＝4，则的值为

__________.参考答案：略17.在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上的任意一点，的面积的最大值为1，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，直线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：直线AE过定点.参考答案：解：（1），当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1，而故椭圆C标准方程为：（2）设，且，，

由题意知的斜率必存在，设BP：，代入得得

AE斜率必存在，AE：由对称性易知直线AE过的定点必在轴上，则当时，得

即在的条件下，直线AE过定点（1，0）.

19.已知函数，，其中a，b，c均为正实数，且.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求证.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．试题分析：（1）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（2）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．试题解析：（1）由题意，当时，，当时，，不等式无解；当时，，解得，所以；当时，恒成立，所以的解集为（2）当时，；．而当且仅当时，等号成立．即，因此，当时，，所以，当时，点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可．20.已知函数．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．参考答案：（1）．……………1分

因为为的极值点，所以．…………………2分

即，解得．……………………3分

又当时，，从而的极值点成立．……………4分（2）因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立．…5分

①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．………………6分②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立．…………………7分

令，其对称轴为，……………8分

因为所以，从而上恒成立，只要即可，

因为，

解得．………Ks5u……9分因为，所以．综上所述，的取值范围为．………10分（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．…………11分以下给出两种求函数值域的方法：方法1：因为，令，

则

，…………12分

所以当，从而上为增函数，

当，从而上为减函数，…………13分

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．…………………14分方法2：因为，所以．设，则．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

因为，故必有，又，

因此必存在实数使得，

，所以上单调递减；

当，所以上单调递增；

当上单调递减；

又因为，

当，则，又．

因此当时，取得最大值0.……………Ks5u…………14分21.四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为（）.