山西省运城市五四一学校高三数学文测试题含解析

山西省运城市五四一学校高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：

,取函数，若对任意的∈(-∞,+∞)，恒有，则(

)A.的最大值为2 B.的最小值为2 C.的最大值为1 D.的最小值为1参考答案：D2.已知，若，则实数取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013参考答案：B【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由数列{an}是以为公差的等差数列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣=．利用单调性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{an}是以为公差的等差数列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，则g′（x）=6+sin在R上单调递增，又=0．∴a2=．则==2015．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.如果等差数列中，，那么(

)（A）14

（B）21

（C）28

（D）35参考答案：5.在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】确定区域的面积，即可求出事件“y≤sinx”发生的概率．【解答】解：在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为π2；事件“y≤sinx”发生，区域的面积为=2，∴事件“y≤sinx”发生的概率为．故选：D．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定区域的面积是关键．6.在中，若，则的形状为

（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C略7.已知i是虚数单位，则=（

）

A．-2i

B．2i

C．-i

D．i参考答案：A略8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱上的点，则满足的点P的个数有（

） A．4 B．6

C．8

D．12参考答案：B9.如图是某个几何体的三视图，俯视图是一个等腰直角三角形和一个半圆，则这个几何体的体积是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A10.已知Sn是等差数列{an}(n?N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是(

)(A)公差d<0

(B)在所有Sn<0中，S13最大

(C)满足Sn>0的n的个数有11个

(D)a6>a7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为

.参考答案：12.在中，已知,，三角形面积为12，则

．参考答案：试题分析：根据三角形的面积公式可知，解得，所以.考点：三角形的面积，余弦的倍角公式.13.已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=

，cos2α=

．参考答案：,.【考点】二倍角的余弦．【分析】利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．【解答】解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．14.中，三边成等比数列，，则____________.参考答案：略15.若是奇函数，则实数=_________。参考答案：略16.若，则。参考答案：

解析：

而17.选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，满足.（1）求角A；（2）若，，求△ABC的面积.参考答案：（1）中，由条件及正弦定理得，∴.∵，，∵，∴.（2）∵，，由余弦定理得，∴.∴.

19.已知函数．（1）当时，直线与f(x)相切，求m的值；（2）若函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点，求此时函数f(x)的单调区间；（3）当时，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．参考答案：（1）m=3；（2）单调递增区间为(－∞,0)，(1,+∞),单调递减区间为(0,1)；（3）.【分析】（1）由求出切点坐标，代入切线方程即可得结果；（2）先证明当时不合题意，当时，根据单调性可得，要使函数在内有且只有一个零点，则须，求得，进而可得结果；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，且,，分类讨论求出最大值与最小值，解方程即可得结果..【详解】（1）,则所以，，当，所以，解得.（2），由，得到，，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，且,.①当即时，在上单调递增，在上单调递减，，又即所以，解得（舍）.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增即，所以.若，即时，，所以，解得（舍）.若，即时，，所以，解得.综上，.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20.（1）已知，且，证明；（2）已知，且，证明.参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由展开利用基本不等式证明即可；（2）由，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为，当时等号成立.（2）因为，又因为，所以，，，∴.当时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.21.(本小题满分14分)己知各项均为正数的数列{}满足(N*),且是的等差中项。(I)求数列{}的通项公式；(II)若，求使成立的正整数n的最小值．

参考答案：(I)；(II)522.（本小题12分）如图所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．(1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.参考答案：【证明】(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰