河北省秦皇岛市秦港职业中学高三数学理下学期摸底试题含解析

河北省秦皇岛市秦港职业中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：C．3.

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为A.

B.

C. D.参考答案：【标准答案】３．Ｂ【试题解析】易知球的半径是，所以根据球的体积公式知，故B为正确答案．【高考考点】球的体积公式和空间想象能力。【易错提醒】记错公式。【备考提示】对立体几何中的公式要牢记在心。3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，侧面PAB⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=，作PD⊥AB，垂足为D，PD=1．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，侧面PAB⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=，作PD⊥AB，交AB于D，PD=1．∴giant几何体的体积V==．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.5.观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关参考答案：D略6.已知直线过定点，线段是圆：的直径，则（

）A．5

B．6

C.

7

D．8参考答案：C7.集合，，则A． B． C． D．以上都不对参考答案：C，选C.

8.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处参考答案：A【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】设仓库应建在离车站x千米处，由仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，利用给出的x=10及对应的费用求出比例系数，得到y1，y2关于x的函数关系式，写出这两项费用之和，由基本不等式求最值．【解答】解：设仓库应建在离车站x千米处．∵仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，令反比例系数为m（m＞0），则，当x=10时，=2，∴m=20；∵每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，令正比例系数为n（n＞0），则y2=nx，当x=10时，y2=10n=8，∴n=．∴两项费用之和：y=y1+y2=≥2=8（万元）．当且仅当，即x=5时，取等号．∴仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万元．故选：A．【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键对题意的理解，通过题意求出比例系数，是中档题．9.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形的边长的概率为

（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数的定义域为，如果对于任意，存在唯一，使

（为常数）成立，则称在上的均值为，给出下列四个函数：①；②；③；④.则满足在其定义域上均值为2的所有函数是__________.参考答案：（1），（3）略12.若曲线：（为参数且），则的长度为

.参考答案：略13.三角形ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若，则三角形ABC的形状为．参考答案：等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．14.等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn满足，则=

.参考答案：答案：=====.15.若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是．参考答案：y=x+1考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： 利用导数先求f′（0），即切线的斜率k=f′（0），代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程．解答： 解：∵f（x）=cosx+2xf′（），∴f（0）=cos0=1，f′（x）=﹣sinx+2f′（），即f′（）=﹣sin+2f′（），则f′（）=，即f′（x）=﹣sinx+1，f′（0）=﹣sin0+1=1，∴所求切线方程为y﹣1=x，即y=x+1，故答案为：y=x+1点评： 本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义的应用，比较基础．16.已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为

▲

.参考答案：略17.已知数列满足．设为均不等于2的且互不相等的常数，若数列为等比数列，则的值为

．参考答案：，因为数列为等比数列，所以，，且公比为，故为方程的两不等实根，从而．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在五棱锥S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（Ⅱ）证明BC⊥平面SAB；（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）.参考答案：解析：（1）连结BE，延长BC、ED交于点F，则，

又BC=DE，，因此，为正三角形，

，∥CD 所以（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角

底面ABCDE，且SA=AB=AE=2，

同理，

又所以BE=2，从而在中由余弦定理得： ，

所以异面直线CD与SB所成的角为：

（2）由题意，是等腰三角形，，

所以又,

,所以,

,

(3)二面角B-SC-D的大小为:

另解法---向量解法:

(1)连结BE，延长BC、ED交于点F，则，

又BC=DE，，因此，为正三角形，

因为是等腰三角形,且 以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则

A（0，0，0），B（2，0，0）S（0，0，2），且C（2，，0）

D(,于是

则

所以异面直线CD与SB所成的角为：

(2),

(3)二面角B-SC-D的大小为.19.（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以x（斤）（其中）表示米粉的需求量，T（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T的分布列和数学期望.

参考答案：（1）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故………………3分设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.…6分（2）当时，；当时，；当时，；当时，960.所以可能的取值为460，660，860，960.，，，.…10分故的分布列为.………12分

20.已知数列{}满足：…+=，(nN*)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设=,数列{}的前n项和为,试比较与的大小参考答案：（I）解：数列{an}满足，（n∈N+）．∴n≥2时，a1+3a2+…+3n-2an-1=，相减可得：3n-1an=，∴an=．n=1时，a1=．综上可得：an=．（II）证明：，∴b1==．n≥2时，bn==．∴Sn=+++…+=+＜．21.(本小题满分12分)

设．(I)若a>0，讨论的单调性；(Ⅱ)x=1时，有极值，证明：当∈[0，]时，参考答案：略22.某地区地理环境偏僻，严重制约经济发展，影响了某种土特产品销售。该地区政府每投资x万元，所获利润为万元.为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元.若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通