四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高三下学期第一次仿真测试理科数学试题（含答案）

秘密★启用前【考试时间：2024年4月28日下午14:40-16:40】高中2021级高三下第一次仿真测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3.考试结束后将答题卡收回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）1.已知集合，则（）A.或B.C.或D.2.已知，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.的展开式中，含的项的系数是（）A.－40 B.40C.－80 D.804.下列有关命题的说法错误的是（

）A．若命题，则命题B．“”是“”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．在中，“”是“”的充要条件5.执行如图的程序框图，输出的S值是（

）A． B．C．0 D．6.如右图，在中，，则（）A．B． C． D．7.函数的图象大致为（）ABCD8.已知椭圆的左、右顶点分别是是坐标原点，在椭圆上，且，则的面积是（）A. B.4 C. D.89.若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．10.我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（

）（参考数据：）A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年11.已知三棱锥的所有顶点都在直径为10的球的表面上，，，则三棱锥的体积的最大值是（）A.B.C.D.12.已知，，，则（）A. B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，满足，则目标函数的最大值是.14.已知某生产线生产的某种零件的合格率是95%，该零件是合格品，则每件可获利10元，该零件不是合格品，则每件亏损15元．若某销售商销售该零件10000件，则该销售商获利的期望为______万元．15.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是厘米，中间圆的直径是厘米，上底面圆的直径是厘米，高是厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的侧面积是______平方厘米．16.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于A、B两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．（1）请完成答题卡上的列联表，并判断能否有的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；（2）为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.在中，角A，，的对边分别是，，，且．（1）求的值；（2）若，，是线段上的一点，求的最小值．19.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面．（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．20.已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为A，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线方程．（2）已知点，不过点直线与曲线交于M，N两点，以线段为直径的圆恒过点，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21.已知函数，．(1)若存在零点，求a的取值范围；(2)若为的零点，且，证明：．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，直线与曲线交于两点，是线段中点，求的值．[选修4－5：不等式选讲]（10分）23.已知函数，其中．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意的恒成立时m的最小值为t，且正实数a，b满足，证明：．高中2021级高三下第一次仿真测试理科数学参考答案一、选择题：1-5BACCB6-10AAABC11-12CD二、填空题：13．202814．8.75/15．16．11.【详解】由题意可得的外接圆的半径为，则球心到平面的距离，故点到平面的最大距离．因为，，所以，即，所以，则的面积，故三棱锥的体积的最大值是.12.【详解】设，则，从而在上单调递增，则，即，设，则，从而在上单调递增，则，即，所以．16.【详解】设点，而，则，由，得，即，因此点A在以为圆心，半径为的圆上，而A点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点，由椭圆的几何性质知，即，亦即，整理得，即，所以椭圆离心率，【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：根据列联表中的数据，经计算得到，有的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；（2）由题意可得表中非“编织巧手”的工人共有人，采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，设人中40周岁以上（含40周岁）的人数为，年龄在40周岁以下的人数为，则由，解得.即这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．从这6人中随机抽取2人的情况有种，其中符合条件2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的情况有种，则由古典概型概率公式得，故所求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率为．18.【详解】（1）由得：，整理可得：，或（舍），，.（2）由余弦定理得：，，且角B为钝角，可知当时，取得最小值，此时，即，解得：，的最小值为.19.【详解】（1）证明：取的中点，连接，．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，垂直平面向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，．由余弦定理可得，则，从而，，，，，故，，．设平面的法向量为，则,令，得．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．20.【详解】（1）由题意可得，即点到点的距离等于点到直线的距离．因为，所以的方程为，，则点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故点的轨迹的方程为．（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线，，．联立整理得，从而，．因为以线段为直径的圆恒过点，所以，即．因为，，所以，即，所以，即，即，所以，即或．当时，直线的方程为，即，此时直线过点，不符合题意，当时，，且直线，即，过定点，满足题意，故直线过定点．21.【详解】（1）的定义域为，令，即，等价于，设，则（），令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的最小值为，，要使得存在零点，则，即，得．（2）由为的零点，得，即，即两式相减得，即.要证当时，，只需证，只需证，，，．令，，只需证，，则在上单调递增，∴，即可得证.22.【详解】（1）由（为参数），得，即，则曲线的直角坐标方程为．由，得，则直线的普通方