2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点2三角函数的单调性

三角函数的单调性1.求下列函数的单调区间：(1)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的单调递减区间；(2)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调区间；(3)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的单调递减区间．[解析](1)∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，∴由2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．即所求单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．(2)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,4)－eq\f(π,6)<kπ＋eq\f(π,2)，解得4kπ－eq\f(4,3)π<x<4kπ＋eq\f(8,3)π(k∈Z)．∴函数的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4,3)π，4kπ＋\f(8,3)π))(k∈Z)．无增区间．(3)画图知单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．2．(2023·洛阳模拟)若f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函数，则ω的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).[解析]解法一：∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))(ω>0)，∴ωx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(πω,2)，\f(2πω,3)))，∵f(x)＝2sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(πω,2)≥－\f(π,2)，,\f(2πω,3)≤\f(π,2)，,ω>0，))故0<ω≤eq\f(3,4).解法二：画出函数f(x)＝2sinωx(ω>0)的图象如图所示．要使f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函数，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(2π,3)≤\f(π,2ω)，,ω>0，))即0<ω≤eq\f(3,4).解法三：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得－eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)，由题意eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z，ω>0)，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω>0，,－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(π,2ω)≥\f(2π,3)，))即0<ω≤eq\f(3,4).名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略1．求三角函数单调区间的两种方法：(1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【变式训练】1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是(C)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(5π,6)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z，∴当k＝0时，单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))).2．若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．π[解析]本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)cose