2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点3三角函数的周期性奇偶性对称性

三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1周期性求下列函数的最小正周期：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)))；(2)y＝3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))))；(3)y＝|tanx|；(4)y＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋6sinxcosx－2cos2x＋1.[解析](1)∵y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)))，∴T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)))的最小正周期为3π.(2)画图知y＝|cosx|的最小正周期是y＝cosx的周期的一半，∴y＝3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))的最小正周期的一半，即T＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,2)＝eq\f(π,2).(3)画出y＝|tanx|的图象．如图所示．由图象易知T＝π.∴y＝|tanx|的最小正周期与y＝tanx的最小正周期相同.(4)y＝－eq\r(2)sin2x·coseq\f(π,4)－eq\r(2)cos2x·sineq\f(π,4)＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，所以y的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.角度2奇偶性1．若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))是偶函数，则φ的值可以是(A)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．－eq\f(π,2)[解析]因为当－eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)时，f(x)为偶函数，即φ＝kπ＋eq\f(5,6)π，当k＝0时，φ＝eq\f(5,6)π，故选A．2．(多选题)已知f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是(CD)A．eq\f(π,2) B．－eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．－eq\f(π,4)[解析]由题意，f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋φ＋\f(π,4)))为奇函数，所以φ＋eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z.因此，选项CD正确．角度3对称性已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(A)A．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称B．关于直线x＝eq\f(π,6)对称C．关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称D．关于直线x＝eq\f(π,3)对称[解析]由已知可得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，所以f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0.所以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是该函数图象的对称中心，所以A正确，B错误；因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))≠0，所以点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))不是该函数图象的对称中心，所以C错误；因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)≠±1，所以直线x＝eq\f(π,3)不是该函数图象的对称轴，所以D错误．名师点拨：1．求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝eq\f(2π,|ω|)或T＝eq\f(π,|ω|)求解．2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．(1)∵y＝sinx的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，∴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x＝eq\f(kπ－φ,ω)，故对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)．(2)∵y＝sinx的对称轴是x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)解出x＝eq\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)，即x＝eq\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)为函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．4．注意y＝tanx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．【变式训练】1．(角度1)①y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，②y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，③y＝|sinx|，④y＝cos|2x|中，最小正周期为π的函数为(B)A．①②③ B．①③④C．②④ D．①③[解析]①y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期，T＝eq\f(2π,2)＝π；②y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq\f(π,2)；③由函数图象知y＝|sinx|的最小正周期为π；④y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π.故选B．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f(x)＝sinxcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(C)A．0 B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π[解析]∵f(x)的定义域为R，且为偶函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))⇒cos(π＋φ)＝－cos(－π＋φ)⇒－cosφ＝cosφ⇒cosφ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝eq\f(π,2).当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝－sinxsin2x为偶函数，满足题意，故选C．3．(角度3)下列关于函数f(x)＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的说法错误的是(C)A．最小正周期为πB．最大值为1，最小值为－1C．函数图象关于直线x＝0对称D．函数图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称[解析]将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等，函数f(x)＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝sin2x，函数的最小正周期T＝π，A正确；最