2025版高考数学一轮总复习考点突破第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法考点4数列的函数性质

数列的函数性质角度1数列的周期性在数列{an}中，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，an<\f(1,2)，,2an－1，an≥\f(1,2)，))若a1＝eq\f(4,5)，则a2025的值为(A)A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[解析]a1＝eq\f(4,5)>eq\f(1,2)，∴a2＝2a1－1＝eq\f(3,5)>eq\f(1,2)，∴a3＝2a2－1＝eq\f(1,5)<eq\f(1,2)，∴a4＝2a3＝eq\f(2,5)<eq\f(1,2)，∴a5＝2a4＝eq\f(4,5)，…可以看出数列的周期为4，故a2025＝a4×506＋1＝a1＝eq\f(4,5).角度2数列的单调性已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(D)A.(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.(1，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]因为an＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故选D.角度3数列的最大(小)项问题(2023·衡水联考)已知数列{an}满足a1＝28，eq\f(an＋1－an,n)＝2，则eq\f(an,n)的最小值为(C)A.eq\f(29,3) B．4eq\r(7)－1C.eq\f(48,5) D．eq\f(27,4)[解析]由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝28＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋28，∴eq\f(an,n)＝n＋eq\f(28,n)－1，设f(x)＝x＋eq\f(28,x)，可知f(x)在(0，eq\r(28)]上单调递减，在(eq\r(28)，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且eq\f(a5,5)＝eq\f(48,5)<eq\f(a6,6)＝eq\f(29,3)，故选C.名师点拨：1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.3．求数列中最大(小)项的方法：(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1,an≥an＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1,an≤an＋1))))求出n的值，进而求得an的最值.【变式训练】1．(角度1)(2022·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，则a2025等于(D)A.－2 B．－1C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，∴a2＝eq\f(1,1－2)＝－1，a3＝eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2025＝a3＝eq\f(1,2).2．(角度2)(2024·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(B)A.[1，＋∞) B．(－3，＋∞)C.[－2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞))[解析]∵数列{an}是单调递增数列，∴对任意的n∈N*，都有an＋1>an，∴(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，又n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即实数b的取值范围为(－3，＋∞).故选B.3．(角度3)已知数列{an}，an＝eq\f(n－1,n2＋4n－1)，则下列说法正确的是(B)A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是a3C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2[解析]令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，则y＝eq\f(t,t2＋6t＋4)，当t＝0时，y＝0，当t>0时，