2025版高考数学一轮总复习素养提升第1章集合常用逻辑用语不等式第3讲不等关系与不等式

比较大小微专题微专题1特殊值法1.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(A)A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D．eq\f(1,2)[解析](特殊值法)：令a1＝b1＝eq\f(1,3)，a2＝b2＝eq\f(2,3)，则a1b1＋a2b2＝eq\f(5,9)，a1a2＋b1b2＝eq\f(4,9)，a1b2＋a2b1＝eq\f(4,9).由此可知，代数式中值最大的是选项A.2．设a>b>0，下列各数小于1的是(D)[解析]解法一(特殊值法)：取a＝2，b＝1，代入验证．解法二：y＝ax(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1；当0<a<1，x>0时，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1.由指数函数性质知，D成立．名师点拨：特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数大小是确定的，如果出现两数大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应该满足前提条件：当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．【变式训练】已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(C)A．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) B．sinx>sinyC．x3>y3 D．eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)[解析]解法一：因为实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．选C.解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定．故选项A、D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．微专题2中间量法1.(2024·吉林一中月考)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，则(D)A．x<y<z B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x[解析]因为x＝lnπ>lne＝1，y＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,\r(e))>eq\f(1,2)且z＝e－eq\f(1,2)<e0＝1，所以x>z>y.故选D.2．(2023·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(A)A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．P≥Q[解析]因为2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2.又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.名师点拨：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间值．指数式比较大小，一般选取1或指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0或1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．【变式训练】(多选题)(2023·重庆一中模拟)下列不等式成立的是(BCD)[解析]∵sin1∈(0,1)，∴log2(sin1)<0，2sin1>1，∴log2(sin1)<2sin1，故A不正确；若eq\r(7)－eq\r(5)<eq\r(6)－2，则0<eq\r(7)＋2<eq\r(6)＋eq\r(5)，即(eq\r(7)＋2)2<(eq\r(6)＋eq\r(5))2，即11＋4eq\r(7)<11＋2eq\r(30)，即4eq\r(7)<2eq\r(30)，即28<30成立，故C正确；log43＝1＋log4eq\f(3,4)，log65＝1＋log6eq\f(5,6)，∵log4eq\f(3,4)<log4eq\f(5,6)，且log4eq\f(5,6)<log6eq\f(5,6)，∴log4eq\f(3,4)<log6eq\f(5,6)，∴log43<log65，故D正确．故选BCD.微专题3单调性法已知实数a，b∈(0,1)，且满足cosaπ<cosbπ，则下列关系式成立的是(C)A．lna<lnb B．sina<sinbC.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．a3<b3[解析]因为a，b∈(0,1)，则aπ，bπ∈(0，π)，而函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，又cosaπ<cosbπ，所以aπ>bπ，即a>b，由函数y＝lnx，y＝sinx，y＝x3在(0,1)上均为增函数，知只有C正确．名师点拨：1．利用函数性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．2．通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较．3．导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．【变式训练】(多选题)(2023·邯郸高三期末)设0<a<b<1,0<c<1，则(AB)A．ln(ca＋1)>ln(cb＋1)B．(c＋1)a<(c＋1)bC．ab>aa>baD．logca<logcb[解析]因为0<a<b<1,0<c<1，所以函数y＝ax，y＝logcx均是减函数，所以ab<aa，logca>logcb，所以C、D不正确；又由函