2025版高考数学一轮总复习素养提升第6章数列第1讲数列的概念与简单表示法

递推数列的通项公式的求法热点一an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型(2024·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝3n－1－3.[解析]∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.[名师点拨]形如an＋1＝Aan＋B(其中A，B均为常数，AB(A－1)≠0)，可把原递推公式转化为an＋1－t＝A(an－t)，其中t＝eq\f(B,1－A)，再利用换元法转化为等比数列求解.热点二an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A、B、C为常数)型已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*).[解析]∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又a1＝1，则eq\f(1,a1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*).名师点拨：形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.热点三an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型(1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝4n－1＋n.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝3n－2n.[分析]观察递推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ＝－3，,3μ－λ＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0))转化成功.[解析](1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即eq\f(an＋1－n＋1,an－n)＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n.(2)解法一：∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)比较系数得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即eq\f(an＋1－3n＋1,an－3n)＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n.解法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴eq\f(an＋1,3n)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n－1)＋1，∴eq\f(an＋1,3n)－3＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n－1)－3))，又a1＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n－1)－3))是首项为－2，公比为eq\f(2,3)的等比数列，∴eq\f(an,3n－1)－3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴an＝3n－2n.名师点拨：1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an.2．形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A为常数)的类型.当p≠q时，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比数列，进而可求an，当p＝q时可化为eq\f(an＋1,qn)＝eq\f(an,qn－1)＋A即eq\f(an＋1,qn)－eq\f(an,qn－1)＝A(常数)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn－1)))为等差数列，进而可求an.【变式训练】在数列{an}中，(1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝2×3n－1－1.(2)a1＝1，an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)(n≥2)，则an＝eq\f(1,2n－1)；(3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝－5·2n－1＋3n＋3；(4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝(3n－2)·2n－1.[解析](1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.(2)将an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)两边取倒数，得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝2，这说明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是一个等差数列，首项是eq\f(1,a1)＝1，公差为2，所以eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝eq\f(1,2n－1).(3)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ－λ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3，))∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3).又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1∴an＝－5·2n－1＋3n＋3.(4)∵an＋1＝2an＋3·2n，∴