2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示

第一讲函数的概念及其表示知识梳理知识点一函数的概念及其表示1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．知识点二分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.知识点三函数的定义域函数y＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(4)一次函数、二次函数的定义域均为R.(5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}.(6)指数函数的定义域为R.(7)对数函数的定义域为(0，＋∞).知识点四函数的值域基本初等函数的值域：1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；当a<0时，值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a))))).3．y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}.4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞).5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.[延伸]6．y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，－2eq\r(a))∪(2eq\r(a)，＋∞)．7．y＝x－eq\f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，＋∞)．8．y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c,a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，＋∞)).归纳拓展1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．5．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×)(2)A＝N，B＝N，f：x→y＝|x－1|，表示从集合A到集合B的函数．(√)(3)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3.(×)(4)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．(×)(5)函数y＝eq\f(x,\r(x－1))定义域为x>1.(×)题组二走进教材2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(B)[解析]A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数的值域不是[0,2]．3．(必修1P67T2改编)已知奇函数f(x)的图象经过点(1,3)，则f(x)的解析式可能为(D)A．f(x)＝2x B．f(x)＝－eq\f(3,x)C．f(x)＝3x2 D．f(x)＝3x3[解析]根据f(1)＝3以及函数的奇偶性确定正确答案．f(1)＝2≠3，A选项错误；f(1)＝－3≠3，B选项错误；f(x)＝3x2是偶函数，C选项错误；f(1)＝3，f(x)＝3x3为奇函数，符合题意．故选D.4．(必修1P73T11改编)(多选题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(BD)A．函数f(x)的定义域为[－4,4)B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应[解析]由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD.5．(必修1P67T2改编)由f(u)＝u2，u＝2＋x复合而成的复合函数是y＝_(2＋x)2__.[解析]利用复合函数的性质直接求解．由f(u)＝u2，u＝2＋x复合而成的复合函数是y＝(2＋x)2.题组三走向高考6．(2022·北京卷)函数f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)的定义域是(－∞，0)∪(0,1].[解析]因为f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)，所以x≠0,1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0,1]．7．(2021·浙江，12,4分)已知a∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，x>2，,|x－3|＋a，