第05讲 正多边形与圆-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（原卷版）

第05讲正多边形与圆目录考点一：正多边形的中心角考点二：正多边形和圆考点三：弧长与扇形面积【基础知识】一、正多边形的相关概念1.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形2.正n边形的对称性正n边形是轴对称图形，对称轴的条数=n．当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．3.正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．每一个中心角==它的每一个外角4.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边是圆的外切正多边形.5.正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.（2）用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.二、正多边形的相关计算设正n边形的半径长为Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形OAB，通过解直角三角形OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长及面积.【考点剖析】考点一：正多边形的中心角一、单选题1．（2022·上海·校联考模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2022秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）正十边形的中心角等于______度．3．（2022秋·上海金山·九年级校考阶段练习）正五边形的中心角的度数是_____．4．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．5．（2022·上海·统考模拟预测）一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为____6．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是_____．7．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．考点二：正多边形和圆一、单选题1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（

）A．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形2．（2022·上海黄浦·统考二模）下列命题中，真命题是（

）A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形B．正六边形的每一个外角都等于中心角C．正六边形每条对角线都相等D．正六边形的边心距等于边长的一半3．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是（）A． B． C． D．4．（2022秋·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，二、填空题5．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．6．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.7．（2022秋·上海·九年级上海市娄山中学校考期中）已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________．8．（2022·上海金山·统考二模）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．9．（2022秋·上海徐汇·九年级统考阶段练习）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为________cm．10．（2022·上海青浦·统考二模）已知正多边形每个内角的度数为，则正多边形的边长与半径的比值为________．11．（2022秋·上海虹口·九年级统考期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为______．12．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若正四边形的半径是1，则它的边长是________．13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是_______________．14．（2022·上海·九年级专题练习）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．15．（2022·上海·九年级专题练习）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，则的周长为__．18．（2022·上海·九年级专题练习）正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________．19．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．20．（2022秋·上海闵行·九年级校考期中）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．考点三：弧长与扇形面积一、单选题1．（2022·上海静安·统考二模）如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题2．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，扇形的弧与相切于点P，若，，，则图中阴影面积是______．（结果保留）3．（2022·上海松江·校考三模）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________．4．（2022春·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）5．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．6．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为______．（结算结果保留）7．（2022秋·上海·九年级校考期中）若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________cm2．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海·二模）若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（）A． B． C． D．2．（2020·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（）A． B． C． D．3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定4．（2019·上海上海·九年级期中）正六边形的半径与边心距之比为（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：5．（2020·上海杨浦·二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A． B． C． D．二、填空题6．（2020·上海嘉定·二模）半径长为2的半圆的弧长为____(计算结果保留π)．7．（2020·上海大学附属学校三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．8．（2021·上海闵行·一模）正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）．9．（2020·上海奉贤·一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___．10．（2021·上海·二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．11．（2018·上海·九年级期末）正八边形的中心角为______度．12．（2018·上海崇明·二模）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．13．（2020·上海长宁·二模）已知正三角形的边心距为，那么它的边长为________．14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为______________．15．（2021·上海金山·二模）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．16．（上海金山·九年级期末）正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是____．17．（2019·上海·九年级期末）如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.18．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．19．（2020·上海嘉定·二模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，