含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法

关于含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法教材回顾夯实双基基础梳理∅1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a______∅|x|>ax>a或x<－a{x∈R|x≠0}______R第2页,共30页，2024年2月25日，星期天(2)|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法①|ax＋b|>c⇔_____________________；②|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c.(3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法①|f(x)|<g(x)⇔__________________________________；②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)，且f(x)、g(x)有意义．ax＋b>c或ax＋b<－c－g(x)<f(x)<g(x)且f(x)、g(x)有意义第3页,共30页，2024年2月25日，星期天2．一元二次不等式的解集∅第4页,共30页，2024年2月25日，星期天思考探究1．|x|及|x－a|表示的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴上的点x到原点的距离，|x－a|表示数轴上的点x到a点的距离．2．不等式|f(x)|>|g(x)|怎样求解？提示:在f(x)、g(x)都有意义的前提下|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).第5页,共30页，2024年2月25日，星期天课前热身第6页,共30页，2024年2月25日，星期天答案：B第7页,共30页，2024年2月25日，星期天3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(

)A．[－5,7]B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D.法一：当x≤－3时，原不等式可化为5－x－x－3≥10，即2x≤－8，∴x≤－4，此时不等式的解集为{x|x≤－4}．当－3<x≤5时，原不等式可化为5－x＋x＋3≥10，此时无解．第8页,共30页，2024年2月25日，星期天当x>5时，原不等式可化为x－5＋x＋3≥10，解得x≥6，此时不等式的解集为{x|x≥6}．综上可知，原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥6}，故选D.法二：由绝对值的几何意义可知，|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点x到点－3和5两点的距离之和，又点－4和6到点－3和5的距离之和都为10，如图，故满足|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]和[6，＋∞)．第9页,共30页，2024年2月25日，星期天4．不等式|2x－6|≤4的解集为________．答案：{x|1≤x≤5}5．(2012·高考福建卷)已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝a2－8a<0，解得a∈(0,8)．答案：(0,8)第10页,共30页，2024年2月25日，星期天考点探究讲练互动考点突破考点1绝对值不等式的解法解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法．第11页,共30页，2024年2月25日，星期天

解不等式：(1)3<|2x－3|<5；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.例1第12页,共30页，2024年2月25日，星期天第13页,共30页，2024年2月25日，星期天第14页,共30页，2024年2月25日，星期天第15页,共30页，2024年2月25日，星期天第16页,共30页，2024年2月25日，星期天考点2一元二次不等式的解法一元二次不等式的形式为ax2＋bx＋c>0(<0)(a≠0)．一元二次不等式的解题步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)看判别式Δ的符号；(3)求出相应一元二次方程的根(若根存在)；(4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结合不等号定解集．有时通过因式分解，直接求出方程的根．第17页,共30页，2024年2月25日，星期天

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．【思路分析】因式分解→求根→比较根的大小→写出解集．例2第18页,共30页，2024年2月25日，星期天第19页,共30页，2024年2月25日，星期天跟踪训练2．若将例2中的条件改为“a<0”，求解这个不等式．第20页,共30页，2024年2月25日，星期天考点3一元二次方程与不等式、二次函数的关系这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来来解决问题．即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解．第21页,共30页，2024年2月25日，星期天

若1＜x≤2，不等式ax2－2ax－1＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解】法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2]上恒成立，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方．当a＝0时，不等式变为－1＜0恒成立．例3第22页,共30页，2024年2月25日，星期天第23页,共30页，2024年2月25日，星期天第24页,共30页，2024年2月25日，星期天1．绝对值的转化方法，就是依据绝对值概念和等价不等式，将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解．也可结合绝对值的几何意义去绝对值号，含两个以上绝对值的不等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号．2．解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，二次函数的图象，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小．方法感悟方法技巧第25页,共30页，2024年2月25日，星期天失误防范1．在二次项系数没有转化为正号的情况下解不等式，在写解集时易出现把不等号的方向写反的错误．2．在二次项系数含有参数时，不要直观认为就是二次不等式，易丢掉对系数为0的讨论．3．分类讨论结束后，要把各种情况进行综合归纳．4．对于|f(x)|，其取值为[0，＋∞)，不能认为是(0，＋∞)．第26页,共30页，2024年2月25日，星期天(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f