第01讲 二次函数的概念、图象与性质（3大考点9种解题方法）（原卷版）

第01讲二次函数的概念、图象与性质（3大考点9种解题方法）考点考向考点考向一、二次函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的图象1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.2.二次函数（）的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.3.二次函数（）的图象的顶点坐标是（m，k），对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.4.二次函数（）的图象是一条抛物线，它de对称轴是直线，顶点坐标是，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.三、二次函数的图象与系数的关系二次函数（）的系数与图象的关系（1）的符号由抛物线的开口方向决定：，；（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交四、二次函数的图象与几何变换1.二次函数的平移（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：（2）平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2.二次函数图象的对称（1）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（2）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．五、二次函数的解析式1.二次函数解析式的表示方法（1）一般式：（，，为常数，）；（2）顶点式：（，，为常数，）；（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点函数（）（）图象的开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标七、二次函数的增减性函数（）（）增减性当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；二次函数的最值函数（）（）最值当时，有最小值，无最大值；当时，有最大值，无最小值.考点精讲考点精讲一、二次函数的概念1．（2021·浙江九年级专题练习）函数是二次函数,那么m的值是()A．2 B．-1或3 C．3 D．2．（2021·浙江九年级专题练习）如果函数是二次函数，那么k的值一定是________．二、二次函数的图象1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（）A．b＞0，c＞0，a＞0 B．b＜0，c＜0，a＞0 C．b＞0，c＜0，a＜0 D．b＜0，c＜0，a＜02．已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A． B． C． D．3．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．三、二次函数的图象与系数的关系1.（2019•永康市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④2a+b＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.（2019•宁波二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4四、二次函数的图象上点的特征1.（2019秋•柯桥区期中）点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定2．（2019秋•鹿城区校级月考）二次函数y＝x2﹣x﹣12与y轴的交点坐标为（）A．（﹣3，0） B．（6，0） C．（0，﹣12） D．（2，16）3．（2019•婺城区一模）当x＝a和x＝b（a≠b）时，二次函数y＝2x2﹣2x+3的函数值相等、当x＝a+b时，函数y＝2x2﹣2x+3的值是（）A．0 B．﹣2 C．1 D．34．（2019秋•瑞安市期中）若抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣1，4），则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣25．（2019秋•台州期中）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1五、二次函数的图象与几何变换．1.（2019秋•柯桥区期中）把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为（）A．y＝（x+1）2+7 B．y＝（x﹣1）2+7 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+1）2+12．（2019秋•瑞安市期中）将抛物线y＝3x2先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣23．（2019秋•台州期中）将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+9 B．y＝（x+3）2+9 C．y＝﹣（x+3）2+9 D．y＝﹣（x﹣3）2+94．（2019春•西湖区校级月考）抛物线y＝3x2可由下列哪一条抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2六、二次函数的解析式1.（2018秋•下城区期末）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2 C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+12．（2018秋•越城区校级月考）把二次函数y＝x2﹣2x+3配方成y＝（x﹣m）2+k的形式，以下结果正确的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣2）2+33．（2019秋•义乌市校级月考）根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过（0，1），（1，﹣2），（2，3）三点；（2）图象的顶点（2，3），且经过点（3，1）；4．（2019春•西湖区校级月考）若抛物线过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．七、二次函数的开口方向、对称轴、顶点1.（2018秋•秀洲区期末）对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．2．（2019春•西湖区校级月考）二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴为，顶点坐标为．3．（2019秋•慈溪市期中）抛物线y＝x2﹣2x﹣m2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限八、二次函数的增减性1.（2019•滨江区一模）已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣1（a为常数，且a≠0），（）A．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大 B．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小 C．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大 D．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小2．（2018秋•台州期中）已知函数y＝ax2+2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥﹣1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤﹣1时，y随x的增大而增大3．（2019•瓯海区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（）A．t≤0 B．0＜t≤1 C．1≤t＜5 D．t≥54．（2019春•西湖区校级月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．九、二次函数的最值1.（2019秋•诸暨市期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值﹣1，有最大值0 C．函数有最小值﹣1，有最大值3 D．函数有最小值﹣1，无最大值2．（2019秋•龙湾区期中）二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），则当x＝时，函数取到最小值．3．（2019春•西湖区校级月考）已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（）A． B． C． D．24．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江九年级期末）二次函数在自变量时，有最大值为1，则a的值为（）A． B． C． D．2．（2018秋•嘉兴期末）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝x2+ C．y＝x2（x+3） D．y＝x（x+1）3．（2021·浙江九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是（）A．8 B．9 C．11 D．104．（2021·浙江九年级二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（）A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧5．（2021·浙江中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（）A． B． C． D．6．（2020·浙江九年级期中）如图，抛物线经过点A，以为边作正方形其顶点B恰好在x轴的正半轴上，若将抛物线平移，使其同时经过该正方形的三个顶点，则平移后抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．7．（2021·浙江九年级三模）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（）A．抛物线的开口向上 B．抛物线与y轴有交点C．当时，抛物线与x轴有交点 D．若是抛物线上两点，则二、填空题8．（2021·浙江）已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为______．三、解答题9．（2021·浙江中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．10．（2021·浙江九年级二模）平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（，﹣），它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）．（1）若AB＝5，交y轴于点C，点C在y轴负半轴上．①求二次函数的解析式；②若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．（2）当-1≤x≤1时，函数值y有最小值为﹣a2，求a的值（其中a为二次函数的二次项系数）．11．（2021·浙江）已知二次函数．（1）直接写出该函数图象的对称轴和与轴的交点坐标．（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点在轴的下方，求证：．（3）已知点，，，在该函数图象上，若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，试求的取值范围．12．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图象于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．13．（2021·浙江）函数的图象与轴交于点，．（1）若，求该函数的表达式；（2）若，的值还确定吗？请说明理由；（3）若点，在该函数的图象上，试比较与．14．（2021·浙江九年级期末）滑雪是冬季运动爱好者的喜爱项目之一，滑雪者从山坡滑下，其滑行距离（单位：）是