2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 03 全等三角形压轴题真题（解析版）

专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题(解析版)

题型一：全等三角形小压轴题

考向1：多项选择题

1.如图，已知AB=AC,AF=AE,/E4/=/BAC,点C、D、E、尸共线.则下列结论，其中正确的是

()

©△AFB^AAEC；②BF=CE；③NBFC=NEAF；®AB=BC.

A

rr---------------^CA.①②③B.①②④c

.①②D.①②③④

【解答】解：,:NEAF=/BAC,J.ZBAF^ZCAE,'：AF=AE,A8=/AC,：./\FAB^/\EAC(SAS),故

①正确，.,.BFuEC,故②正确，.../ABFuNACE,,：.ZBFC^ZDAC,'：/DAC=

ZEAF,:.NBFC=NEAF,故③正确，无法判断A8=8C,故④错误，

故选：A.

;…

TT-------------------*C2.如图，ZkABC中，ZC=二90°、是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB,

③；④四边形

下列结论：①NOE4+/B=180°；②NCDE=z1cA&AC=£(AB+AE)ABQE，

其中正确的结论个数为()

ABA.4个B.3个C.2个D.1个【解答】解:如图，过Z)作QF_LA8于F,

VZC=90°,4。是角平分线，：.DC=DF,NC=NDFB,

又,：DE=DB,.*.RtACDE^RtAFDB,：.ZB=ZCED,ZCDE=ZFDB,CE=BF,又,：NDEA+NDEC

=180°,.,./£>E4+/8=180°,故①正确；,:NC=NDFB,NB=NB,:.NBDF=NBAC,：.ACDE

=ZCAB,故②正确；'：AD是角平分线，，/。。:/必。，又,：NC=NAFD,AD=AD,

△AFC,：.AC=AF,：.AB+AE=(AF+FB)+(AC-CE)=AF+AC=2AC,

.\AC=-^(ABME),故③正确；

'/RtACDE^RtAFDB,:♦S&CDE=S&FDB，四边形ABDE=S四边形ACD/，又•••△ACOg/XAF。，

***SMCD=S^ADF，*,•SAADC="^S四边形ACW=*S四边形AE)E，故④正确；

故选：A.

AF53.如图，直线AC上取点8,在其同一侧作两个等边三角形△A8D和△BCE,

连接AE,CD与GF,下列结论正确的有()

®AE=DC-,②NAHC=120°；③^AGB四△OFB；④8〃平分/4HC；©GF//AC.

D

*'BCA.①②④B.①③©C.①③④⑤D.①②

③④⑤

【解答】解：•.•△A8O和△BCE都是等边三角形，：,BA=BD,BE=BC,NABD=NCBE=60°,

VZDBE=180°-60°-60°=60°,ZABE=ZDBC=120°,,:BA=BD,NABD=NDBC,BE=

BC,

:./\ABE沿/\DBC(SAS),：.AE=DC,所以①正确；NBAE=/BDC,,:NBDC+NBCD=NABD=60°,

：.ZBAE+ZBCD=60a,：.ZA//C=180°-(NBAH+NBCH)=180°-60°=120°,所以②正确；

■:NBAG=NBDF,BA=BD,ZABG=ZDBF=60°,.*.△AGB丝△。尸B(ASA)；所以③正确；:△ABE

丝/XOBC,和。C边上的高相等，即B点到AE和。C的距离相等，.•.3,平分NAHC,所以④正确；

：.BG=BF,尸=60°,二ASG尸为等边三角形，二/BGF=60°,:.NABG

=ZBGF,J.GF//AC,所以⑤正确.故选：D.

考向2：动点问题

4.如图，已知△A8C中，NB=NC,BC=8cm,BD=6cm,如果点尸在线段BC上以1C/M/S的速度由2

点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停

止运动，设点。的速度为xcvn/s,则当△8PO与△CQP全等时，x=1或可

设运动的时间为rs,则8P=r,PC=8-t,CQ^tx,,:NB=NC,：.当BD

3

=CQ,8P=CP时，△BPDQ4CPQ(SAS),即a=6,t=8-t,解得f=4,；当BD=CP,BP=CQ

时，ABPD沿/XCQP(SAS),即8-f=6,t=tx,解得f=2,x=l；

33

综上所述，x的值为1或字故答案为1或李

5.如图，AB=4cm,AC=BD=3cm./CAB=区4=60°，点P在线段AB上以la〃/s的速度由点A向

点B运动，同时，点。在线段8。上由点B向点。运动.它们运动的时间为f(s).设点。的运动速

度为xcm/s,若使得△ACP与△BPQ全等.x的值为1或15.

【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=8Q,:点尸在线

段AB上以la〃/s的速度由点A向点B运动，同时，点。在线段8。上由点B向点。运动.它们运动的

时间为r(s).设点。的运动速度为xc〃?/s,，x=l；

1123

@AC=BQ=3cmfAP=BP=—AB=—X4cm=2c/n,，时间为y=2秒，即％=彳=1.5,

所以工的值是1或15

题型二：全等三角形的大压轴题

6.根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四

边形ABC。四四边形A\B\C\D\.

奥口口

图1图2(1)若四边形ABCC丝四边形

A\B\C\D\,已知AB=3,BC=4,AO=CO=5,NB=90°,/£>=60°，则4出=5,NBi=90°,

ZAi+ZCi=210°.(直接写出答案)；

(2)如图1,四边形A8EF丝四边形CBEQ,连接A。交BE于点O,连接OF,求证：ZAOB=ZFOE；

(3)如图2,若AB=Ai8i，BC=BiCi，CD=C\D\,AD=A\D\,NB=NBi，求证：四边形A8C。名

四边形481GO1.

【解答】解：(1)•.•四边形A8CO丝四边形481。。，.•.4。=4£)：=5,ZBi=ZB=90°,ZD=ZDi

=60°,NA=NA”ZC=ZCi,VZA+ZC=160°-90°-60°==210°,：.ZAi+ZCi=210°,

故答案为5,90°,210°.

(2)如图1中，

图1•.,四边形ABEF丝四边形CBEZ),，EF=EQ,ZFEO=ZDEO,'：EO=EO,；.△

FEO-DEO(SAS),:.NEOF=NDOE,VZAOB=4DOE,：.NAO8=/EOF.

DDx

I

BC51Cl

(3)如图2中，连接AC,AICI.图2

9

：AB=A\B\fNB=NBi，BC=B\C\,.*.△ABC丝△4BiCi，：.AC=AiCi，ZBAC=ZB\A\C\,ZBCA

=ZBiCiAi,VAD=AiDi，CD=C\D\t：.△ADC^AAiDiCi(SSS),：.ZD=ZDi，ZDAC=ZD\A\C\,

：

ZACD=ZA\C\D},.ZBAD=^BAA\D\,ZBCD=ZB\C\D\f

：.四边形ABC拉空四边形48iG5.

7.(1)如图1,已知NEOF=120°,0M平分/EOF,A是OM上一点，ZBAC=60Q,且与OF、OE

分别相交于点8、C,求证：AB=AC；

(2)如图2,在如上的(1)中，当/BAC绕点A逆时针旋转使得点8落在。尸的反向延长线上时，(1)

中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；

(3)如图3,已知NAOC=/BOC=/B4C=60°,求证：①AA8c是等边三角形；②OC=OA+OB.

(1)证明：过A作4GJ_OF于G,AHLOE于H,则N4HO=NAGO=90°,VZEOF=120°,AZ

/MG=60°=NBAC,AZHAG-ZBAH^Z.BAC-ZBAH,：,NBAG=4CAH,平分/EOF,AG

rZAGB=ZAHC

LOF,AHLOE,：.AG=AH,在△BAG和△C4”中，V<AG=AH,

ZBAG=ZCAH

：./\BAG^ACAH(A5A),."8=4C；

(2)结论还成立，证明：过A作AGJ_。尸于G,AH_LOE于”，与(1)证法类似根据4sA证

CAH(ASA),则A8=AC；

(3)证明：①如图，NFOA=180°-120°=60°,NFOC=60°+60°=120°,即。例平分NC。尸，

由(2)知：AC^AB,'：ZCAB=60°,△ABC是等边三角形；

②在OC上截取8O=ON,连接8N,•.•/CO8=60°,...△BCW是等边三角形，...。汽:。'/O8N=60°,

..♦△ABC是等边三角形，.•.NA8C=60°=ZNBO,；.都减去NA8N得：NABO=NCBN,

fBC=AB

在△AOB和△CNB中NCBN=/OBA,.,.△AOB丝△CA®(SAS),：.NC=OA,

,BN=OB

...OC=CW+CN=OB+OA,即OC=OA+OB.

fE

三象限作等腰RlAABC.

（1）求C点的坐标；

（2）如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当尸点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，雨为腰作

等腰RtZsAPO,过。作£>EJ_x轴于E点，求OP-OE的值；

（3）如图3,已知点尸坐标为（-2,-2）,当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△尸GH,

始终保持NG/77=90°,FG与），轴负半轴交于点G（0,优），FH与x轴正半轴交于点”（〃，0）,当G

点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其

【解答】解：（1）过C作CMLx轴于M点"如图1,

图］

VCM1OA,ACLAB,：.ZMAC+ZOAB=90a,/CM8+/O8A=90°,则

ZMAC=ZOBA,

<ZCMA=ZAOB=90°

在△MAC和△08A中，,NHAO/OBA,・・・△MAC丝△08A(AA5)

AC=BA

：.CM=0A=2,M4=OB=4,・••点。的坐标为(-6,-2)；

(2)如图2,过。作DQJ_OP于。点，

丁个

Ji\0E>

Hx

\0

图2VDQLOP,DELOE,NPOE=90°二四边形OED。是矩形，：.OE=QD,DE

=OQ，

AOP=PQ+OQ=DE+PQ,'：ZAPO+ZQPD=90°,ZAPO+ZOAP=90°,：.ZQPD=ZOAP,

，ZAOP=ZPOD=90°

在△AOP和中，，NQPD=NOAP，：./\AOP^/\PDQCAAS),：.QP=AO=2,

AP=PD

：.OP-DE=2；

(3)结论②是正确的，m+n=-4,理由如下：如图3,过点尸分别作尸轴于S点，FTUy轴于T

点,

:.FS=FT=2,NFHS=NHFT=NFGT,在和aFTG中，

<ZFSH=ZFTG=90°

<ZFHS=ZFGT,:ZSgAFTG(A4S)：,GT=HS,

FS=FT

又；G(0,m),H(n,0),点尸坐标为(-2,-2),：.OT—OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,：.GT

=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,：.-2-m=n+2,

/.m+n=-4.

9.在△ABC中，AB=AC,CGJ_8A交34的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，

该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点民

(1)在图1中请你通过观察、测量3F与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证

明你的猜想；

(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角

边交8c边于点。，过点。作。ELBA于点£此时请你通过观察、测量£>E、OF与CG的长度，猜想

并写出OE+OF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点尸在线段AC上，且点尸与

点C不重合)时，若AG：AB=5：13,BC=4JF，求。E+DF的值.

G

图1图2图3【解答】解：(1)猜想：

BF=CG.理由：如图1.'：BF±AC,CG±AB,：.S^ABC=-^AC^BF=-^AB-CG.'：AB=AC,:.BF=CG；

(2)猜想：DE+DF=CG.理由：连接AO,如图2.'：DF±AC,DELAB,CG±AB,

99

•-S^CD=^AC*DF,S^ABD='^AB*DE1S^ABC=^ABCG.S^ACD+S^BD=S^ABC^^~^AC*DF^AB

乙乙乙乙乙

DE=-^AB-CG.,：AB=AC,:.DF+DE=CG；

(3)连接AO,如图3.同(2)可得：DF+DE=CG.设AG=5x,VAG：48=5：13,AB^AC,

：.AC=AB=\3x.：.ZG=90°,AGC=VAC2-AG2=1在RtZ\8GC中，

VBG=AB+AG=13x+5x=18x,GC=\2x,BC=4Vl3.二(18x)2+(12x)2=(4A/13)2

9

解得：x=~,：.DE+DF=CG=12x=8.

在平面直角坐

标系中，A(-2,0)、B(0,5),A8=AO,/ABC+/A£>C=180°,BCJLCD.

(I)求证：ZABO=ZCAD；

(2)求点求坐标;

(3)如图2,若OC=OB=5,E为/8CO的邻补角的平分线上的一点，且/BEO=45°,OE交BC

NBAC+/CAO=90°,又：NE4C+/48O=90°.

，ZABO=ZCAD.

(2)如图1,过点。作。G_LAC,.•.NAGQ=NBOA=90°,XVZABO=ZCAD,AB=AD,.♦.△AB。

^/XDAG(AAS),：.DG=AO=2,AG=BO=5,：.OG=AG-AO=3,则点。的坐标为(3,-2)；

(3)如图2,过点E作8c于点”，作EG

轴丁点G,点在N8C。的邻补角的平分线上,

：.EH=EG.又：NBCO=NBEO=45°，：.ZEBC=ZEOC.：./\EBH^/\EOGCAAS),

:.EB=EO.又：/8EO=45°,:.NEBO=NEOB=675",VZOBC=45°,

:.NBOE=NBFO=615°.：.BF=BO=5.

11.在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点8、C在y轴上，且点8与点C关于x轴对称，点。在线段

AB上，点E为该坐标平面内一点.

①如图1,若点E在线段AC上，求证：CD=BE；

②如图2,若点E在线段8c上，且NOEA=/ABC,求证：ZACO=2ZOAE.

(2)如图3,已知BO=AE,点E在线段C4的延长线上，尸为CD中点，且NOAB=30°,求证：BF

±£F.

【解答】证明：(1)①：点B和点C关于x轴对称，：.AB=AC,：.ZCBD=ZBCE,在△C8。和△BCE

'BD=CE

中，，ZCBD=ZBCE,.♦.△C8D丝△BCE(SAS),：.CD=BE；

BC=BC

②；NDEA+NDEB=NACB+NCAE,ZDEA=ZABC=NACB,

fZDEB=ZCAE

:./DEB=NCAE,在△BEO和△CAE中，ZEBD=ZACE,：./\BED^/\CAE(AAS),

BD=CE

：.BE=AC=AB,:.NBEA=NBAE,•点8和点C关于x轴对称，：.AB=AC,OB=OC,

：.ZBAO=ZCAO,：,NBAE=2/CAO-NEAC=2N0AE+NEAC,"：ZDEB=ZCAE,

：.ZDEA^2ZOAE,,：ZDEA=ZABC=ZACO,：.ZACO^2ZOAE：

(2)延长8尸到点G,使8B=FG,连接CG、EG、BE,如图3所示：：点8和点C关于x轴对称，

：.AB=AC,OB=OC,：.ZOAB=ZOAC=30°,/.ZBAC=60°,；.△48C是等边三角形，：.CB=AB,

'BF=FG

ZBC4=60°,为OC中点，:.DF=CF,在△8D厂和△GCF中，，ZBFD=ZGFC,

DF=CF

:.ABDF必GCF(SAS'),：.CG=BD=AE,NCGF=NDBF,J.BD//CG,

：.ZGCA=ZBAC=60°,AZBCG=ZBCA+ZGCA=600+60°=120°,

VZBAE=180°-ZOAB-ZE<r=180°-ZOAB-ZOAC=180°-30°-30°=120°,

fCB=AB

.•./8CG=N8AE,在ABCG和△BAE中，，ZBCG=ZBAE..\^BCG^/^BAE(SAS\：.ZCBG^ZABE,

CG=AE

BG=BE,；NC8G+NGBA=60°,AZABE+ZGBA=60°,即NG8E=60°,，△GBE是等边三角形,

是8G的中点，J.EFLBG,：.BFVEF.

图3

12.如图，平面直角坐标系中，已知点A(a-1,a+b),B(a,0),且Va+b-3+(a-2b)2=0,C为

x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△AC。，使AD=AC,/C4O=直线08交)，轴于

点尸.

(1)求证：AO=AB\

(2)求证：OC=BD；

222

(2,0),.,.OA—12+2=,AB^^I(2-1)+3•,-OA=AB；

(2)VZCAD-ZOAB,：.ZCAD+ZBAC^ZOAB+ZBAC,即NOAC=/BAO,在△OAC和△344中,

，OA=AB

<Z0AC=ZBAD,：.^OAC^^BAD(SAS),：.OC=BD；

AC=AD

(3)点尸在)，轴上的位置不发生改变.

理由：设N4OB=/48O=a,•由(2)知△AOCgAABO,；.NABD=NAOB=a,'：OB=2,/OBP=

180°-NA8。-NA8/)=180°-2a为定值，YNPO8=90°,长度不变，...点P在y轴上的位置

不发生改变.

13.在△4BC中，ZA<60°,以48,AC为边分别向外作等边△ABD,△ACE,连接。C,8E交于点4.(如

图1)

(1)求证：△DACWXBAE：

(2)求DC与BE相交的的度数；

(3)又以8c边向内作等边三角形△BCF,连接OF(如图2),试判断AE与。F的位置与数量关系,

并证明你的结论.

E

【解答】(1)证明：如图1中,

:AABD、都是等边三角形，：.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE=60°,：.ZDAC=ZBAE,

在△D4C和△BAE中，

，AD=AB

<ZDAC=ZBAE,：./\DAC^/\BAE.

AC=AE

(2)如图1中，AZADC=ZABE,,:/AOD=NBOH,ZAOD+ZADC+ZDAO=

180°,/8O〃+/OHB+N48E=180°,；./O"B=/ZMO=60°,:.NDHB=60°.

(3)结论4E=O尸，AE//FD.如图2中，连接ER；△A8/),△BCF,△△(?£：都是等边三角形，

：.BD=BA=AD,BF=BC,CA=CE=AE,NABD=NCBF=NBCF=NACE=60°,：.NDBF=NCBA,

rAB=AD

NBCA=NECF,在△ABC和/中，，ZABC=ZDBF,:.△ABg8DBF,

BF=BC

同理△/WCgZkEFC,：.DF=AC=AE,EF=AB=AD,四边形ADFE是平行四边形，

：.DF=AE,DF//AE.

14.已知，AABC是等腰直角

三角形，BC=AB,A点在x负半轴上，直角顶点8在)，轴上，点C在x轴上方.

图1若A的

坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,1）,求点C的坐标;

（2）如图2,过点C作COJLy轴于。，请直接写出线段OA,OD,C。之间等量关系;

（3）如图3,若x轴恰好平分NBAC,BC与x轴交于点E,过点C作CFLr轴于F,问CF与AE有怎

样的数量关系？并说明理由.

【解答】解：(1)作轴于H,如图1,

:点A的坐标是(-3,0),点5的坐标是(0,1),，0A=3,08=1,

*.,△A8c是等腰直角三角形，：.BA=BC,ZABC=90°,:.NABO+NCBH=90°,

'/A0B=/BHC

'.'ZABO+ZBAO=90°,：.ZCBH^ZBAO,在△ABO和△3C77中，ZBA0=ZCBH.