华师大版九年级上册数学全册教案教学提纲

华师大版九年级上册

数学全册教案

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第1课时

教学内容二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如五(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用(ae0)”解决具体问题.

教学方法：讲解

教学过程

一、回顾

当a是正数时，笈表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.

当a是零时，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.

当a是负数时，。没有意义.

概括

&(a》0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，&(a20)是一个非负数，它的平方等于a.即有:

(1)4a^0(a20)；(2)(Va)2=a(a20).

形如&(a20)的式子叫做二次根式.

注意在二次根式石中，字母a必须满足a»0,即被开方数必须是非负数.

例x是怎样的实数时，二次根式H万有意义？

思考：在等于什么？

概括:当a»0时，d=a；当a<0时，=-a.

这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开

方”出来，从而达到化简的目的.例如：

J©?=J(2X)2=2X(X，0)；4^~yj(x2)2=x2.

练习

Lx取什么实数时，下列各式有意义.

(1)\l3-4x.(2)2；(3)』。-3)；(4)J3x—4+J4—3x

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拓展

例当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义?

X+1

例（1）已知y=万二+J7^+5,求人的值.（答案:2）

y

（2）若A/^7T+〃^T=0,求aZ◎+b?00"的值.（答案:|O

归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“一”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

布置作业教材P41.2

教学后记：

第2课时

教学内容

1.4a（a20）是一个非负数；

2.（\[a）\a（a20）.

教学目标

理解&（a»0）是一个非负数和（6）2=a（a20）,并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&（a20）是一个非负数，用具体数据结合算术平方

根的意义导出（&）2=a（a20）；最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a（a20）是一个非负数；（&）2=a（a^O）及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出右（a20）是一个非负数；•

教学方法用探究的方法导出（五）2=a（a20）.

教学过程

一、复习引入（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，&有意义吗？[老师点评（略）.]

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二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

G(a>0)是一个什么数呢？

老师点评：|g(a20)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(4)2=；(a)2=；(邪)2=；(6)2=；

(R)2=------；(g)2=-------；(C)2=--------

总结：(&)2=a(a，0)

例1计算

1.(J|)22.(3石)23.(/1)24.(白尹

解：略

三、巩固练习

计算下列各式的值：

(—)2(J1)2(在)2(#)2(4口)2(3⑹2_(5后

V34\8

四、应用拓展

例2计算

1.(Vx+T)2(x^O)2.(")23.(7a2+2a+l)24.(V4x2-12^+9)2

解：略

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

五、归纳小结

1.4a(a^O)是一个非负数；

2.(Va)2=a(a^O);反之:a=(^)2(a^O).

六、布置作业

1.教材P4.3.4

教学后记:

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第3课时

教学内容J/=a(a>0)

教学目标理解"=a(a>0)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究病=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：J/=a(a20).2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，后=a才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如布(a20)的式子叫做二次根式；

2.4a(a20)是一个非负数；

3.(6)2=a(a20).

那么，我们猜想当a20时，值=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空：

V?=；Vo.oi2=；=；

府:--------；亚=--------；-------.

(老师点评)：一般地：|V7=a(a20)1

例1化简

(1)y/9(2)J(-4)2(3)725(4)J(-3)2

解：略

三、巩固练习

教材P4.3.4.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，"=；当a<0时，而=，•并根据这一性质回答下列问题.

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(1)若J/=a,则a可以是什么数？(2)若C=-a,则a可以是什么数？

(3)77>a,则a可以是什么数？

解：略

例3当x>2,化简J(x-2)2-J(l—2x)2.

五、归纳小结

本节课应掌握：J7=a(a20)及其运用，同时理解当a<0时，"=-a的应用拓展.

六、布置作业

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl—Za+Y的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+《Q-af=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-19952的值.

(提示：先由a-200020,判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(X+3)2+5/^2一]。%+25。

教学后记：

第4课时

教学内容

4a•\fb=\[ab(aNO,b20),反之7^=右,4b(a20,b》0)及其运用.

教学目标

理解五•折=疝(a»0,b20),疝=右•4h(a20,b20),并利用它们进行计算和化简

教学重难点关键

重点：4a,4b=y/ah(a20,b20),s[ab=4a,-Jb(a20,b20)及它们的运用.

难点：发现规律，导出&•>Jb=4ab(a20,b20).

关键：要讲清而(a<O,b<O)=&x疯如J(—2)x(―3)=J—(―2)x-(—3)或，(—2)x(―3)==血X6.

教学方法探究练习

教学过程

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1.(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空并比较左右两边式子的大小

(1)V4X79=______，14x9=______；

(2)际义后=_____,J16x25=________.

(3)V1OOX736=_______,V100x36=_______

2.利用计算器计算填空

(1)V2X>/3&，(2)V2XV?M，

(3)45Xy/6V30,(4)V4X75亚，

一般地，对二次根式的乘法规定为

\[a,-Jb=\[ai>.(a'O,b20)

反过来：\=&•&(a20,bNO)

1.计算

(1)V5XV7(2)/1X79(3)79X727(4)回X卡

V3V2

2化简

(1)V9X16(2)716x81(3)781x100

(4)也4(5)V54

二、质疑：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(T)x(_9)=Cx"

(2)旧|X后=4X居义后=4居X岳=4巫=86

四、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)

①屈义瓜②3cx2痴③瓦•

(2)化简：回；加；V24;A/54;y/12a2b2

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课应掌握：(1)4a-4b=4ab=(a20,b20),4ah=4a-y/h(a20,b20)及其运用.

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六、作业设计略

教后后记:

第5课时

教学内容

巫=叵（a>0,b>0）,反过来叵=返_（a20,b>0）及利用它们进行计算和化简.

\[bVbVb^jb

教学目标

理解巫=叵（a20,b>0）和叵=①（a'O,b>0）及利用它们进行运算.

\fhVbVb-Jh

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们

进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解至=叵（a»0,b>0）,”=右（a»0,b>0）及利用它们进行计算和化简.

4bNb~4b

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学方法探究、练习

教学过程

1.（学生活动）请同学们完成下列各题:

1.填空并比较每一组的大小

(1)加=___,叵=_____；(2)=_____，座=___

Vf6V16V36V36

(3)如=_____,r^_=_____；(4)2^^.-________，=_

V16V16y/81V81

2.利用计算器计算填空：

(1)73=_____,(2)V2=_____，(3)x/2=____，(4)0=_

>/4>/3>/5V8

探究：二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定:

*(aNO,b>0),

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下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

三、探究：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

已知/9--r_V9-X,且X为偶数,求(1+X)华—5x+工的值.

VX—6Vx—6Vx2—1

分析：式子哙=骼，只有a20,b>0时才能成立.

因止匕得至【」9-x20且x-6〉0,即6<xW9,又因为x为偶数，所以x=8.

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课要掌握叵(a20,b>0)和忖=3(a20,b>0)及其运用.

\fhVbVbyfh

六、作业设计略

教后反思:

第6课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次

根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学方法置疑探究

教学过程

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一、1.(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)

计算(1)正，(2)巫,(3)(老师点评略)

>/5>/27y/2a

2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？(有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.)

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

1.把下面的二次根式化为最简二次根式：

(1)3后；(2)ylx2yA+x4y2；(3)而7

2.如图，在RtaABC中，ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的

长.AB=\/2.52+62=J(,)2+36=T=6.5(cm)

因此AB的长为6.5cm.

三、总结：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1_lx(V2-l)_V2-l_w,

药―g)(0T)=W"

1_1x(后扬出-6_5

行+友一(百+及)(6-0)-3-2一’

同理可得：।=6-瓜……

V4+x/3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(!+।+।+.......।)(72002+1)的值.

>/2+1>/3+>/2V4+y/3V2OO2+'2001

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、作业设计略

教后反思:

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第7课时

教学内容二次根式的加减

教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学方法探究练习

教学过程

一、1、(学生活动)：计算下列各式.

(1)2V2+3V2(2)2瓜-3瓜+5册

(3)^/7+2V7+3^/9^7(4)3G-26+夜

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2血与血表面上看是不相同的，但它们可以合并吗?

可以的.

(板书)3&+战=30+2逝=50

3V3+V27=3V3+3A/3=6V3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合

并.

1.计算

(1)吊晒(2)71^+764^

2.计算

(1)3748-9^1+3712(2)(748+720)+(V12-V5)

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(2丫、回+/)-(x?©-5xp)的值.

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课应掌握：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并.

六、作业设计略

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教后反思:

第8课时

教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标运用二次根式、化简解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学方法探究、练习

教学过程

一、上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式

化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.

1.如图所示的Rt^ABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/♦秒的速度向点A移动；同

时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后APBQ的面积为35平方厘米？

PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

解：设x后APBQ的面积为35平方厘米.则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：—x•2x=35X2=35

2

所以四秒后4PBQ的面积为35平方厘米.

PQ=y]PB2+BQ2=7X2+4X2=VsT-=V5X35=5币

答：屈秒后APBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为577厘米.

2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

解：由勾股定理，得AB=y/Alf+BD2=V42+22=V20=2V5

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BC=4BCr+CCr=V22+l2=V5所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD=26+石+5+2=36+7=3X2.24+7=13.7(m)

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.)

三、同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

若最简根式3%石短与根式人+6及是同类二次根式,求a、b的值.(•同类二次根式就是被

开方数相同的最简二次根式)

解:首先把根式，2"2-3+6U化为最简二次根式:

，2ab~—b，+6b~=[b=(2a—1+6)=|b|,J2a-+6

由题意得j4"+3〃=2a-\+6/.f2a+4b=6,,,a=],b=l

\2>a-b=2.[3a-6=2

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、作业略

教后反思：

第9课时

教学内容

二次根式的乘除

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学方法置疑探究练习

教学过程

一、1.(学生活动)：请同学们完成下列各题：

(1)(2x+y),zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

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(3)(2x+3y)(2x-3y)(4)(2x+1)2+(2x-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)・单项式X单项式；(2)单项式X

多项式；(3)多项式♦单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

思考：如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•(仍成立.)

2.计算：

(1)(V6+V8)X73(2)(476-372)4-2^

3.计算：

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(V10-V7)

总结：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

五、归纳小结(师生共同归纳)

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、作业略

教后记：

第10课时

教学内容：一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式。V+bx+c=°(aW0)

2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受

方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

重点难点：

一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教学方法：讲解练习

教学过程：

一、导入：

1.问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且

长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

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分析：设长方形绿地的宽为X米，不难列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x,我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+

x)万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2万册.可列得

方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5x2+lOx-2.2=0.(2)

3.思考讨论：问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么

这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程).通

常可写成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0(a,b、c是已知数，aWO)。其中叫做二次项，。叫做二次项系数；区叫做一次项，人叫

做一次项系数，。叫做常数项。.

三、例题讲解与练习巩固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

尤-2[_/

⑴3x+2=5x-3(2)x2=4(3)x+1(4)x~(x+2)2

2.例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

2

1)6/=丁2)(x.2)(x+3)=83)(^+3)(3x-4)=(x+2)

说明：一元二次方程的一般形式af+〃x+c=°(。/0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边

的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包

括符号的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次

方程?

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本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当a#2时是一元二次方程；当。=2,6工0时是一元一次方程；

4.例4已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+3x-5m+4=0有一根为2,求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2/=2-3x2X（X-1）=3（X-5）-4⑵-炉-0+叶=0+3Xj~2）

练习二关于x的方程（利-3）/+内+机=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方

程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为°（。/0）,一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义

的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

布置作业：课本第27页习题1、2、3

教学后记：

第11课时

教学内容：一元二次方程的解法（一）

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如。（》一62=。（aW0,ab20）的方程；

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学方法：置疑、讲解、练习

教学过程：

问：怎样解方程（”+1丫=256的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

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解：1、直接开平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可变形为

+-256=0

方程左边分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x—15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2-9=0.

分析两个方程都可以转化为a(xf)2=匕(aW0,ab20)

的形式，从而用直接开平方法求解.

解：(略)

2、说明：(1)这时，只要把(X+D看作一个整体，就可以转化为/=人320)型的方法去解决，这里体

现了整体思想。

3、练习解下列方程：

(1)(x+2)2—16=0；(2)(x—1)2—18=0；

(3)(1-3X)2=1；(4)(2x+3)2—25=0.

三、读一读

本课小结：

1、对于形如—(aW0,ab20)的方程，只要把(”一口看作一个整体，就可转化为'=〃(n20)

的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：课本第31页习题1(5、6)、习题2(1、2)

教后记:

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第12课时

教学内容：一元二次方程的解法(二)

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为(X+P)2

教学方法：设疑、讲解、练习

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

22

(1)3-2X=1(2)(x+l『-6=0(3)(X-2)-1=0

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

%2=力他20)和(x-a)2=b(/?N0)

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b<0,方程就没有实数解。

如(if

请说出完全平方公式。

2

=X+2〃X+Q2

=x2-2ax+a~

o

二、引入新课

我们知道，形如--A=°的方程，可变形为/=A(AN0),再根据平方根的意义，用直接开平方法求

解.那么，我们能否将形如V+法+。=°的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问

题.

三、探索：

1、例1、解下列方程:

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22

x+2x=5；(2)x—4x+3=0.

思考

能否经过适当变形，将它们转化为

()~=a的形式，应用直接开方法求解？

解(1)原方程化为f+2x+l=6,(方程两边同时加上1)

(2)原方程化为i—4x+4=-3+4(方程两边同时加上4)

三、归纳

上面，我们把方程——4x+3=0变形为(x—2)~=i,它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个

非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方:

x2+8x=(x+].x2—1Ox=(x+)2

例2、用配方法解下列方程：

2

(1)x—6x—7=0；(2)+3x+1=0.

五、作业：

1、填空：

⑴x?+6x+()=()2

(2)/一8x+()=(x-)2

2c2个

(3)X+x+()=(x+)2；(4)4X—6x+()—4(x—)-

2用配方法解方程：

(1)f+8x—2=0(2)x-5x-6=0.

(3)X2+7=-6X

教后记:

第13课时

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教学内容：一元二次方程的解法(三)

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法解一元二次方程。

把一元二次方程转化为*+夕)2=4

教学方法：设疑、讲解、练习

教学过程：一、练习

试一试：对下列各式进行配方：

x2+8%=(x+>x2-10%=(x+)2

222

X-5x4-=(X—y».X-9x4-=(x—)

232

XX+____=(X-____)21z、2

2.»x+法+=(x+)

一、1式一讽

用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：移项，得x2+px=-q,

P_P_P_

配方，得X2+2•x•2+(2)2=(2)2—q,

P_"2-4q

即(x+,)2=4.

因为p2—4qK)时，直接开平方，得

P_J/4q

x+2=±2.

£b一4q

所以x=-2土2,

-P土』P2一句

即x=2.

思考：这里为什么要规定p2-4q>0?

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七、讨论

1、如何用配方法解下列方程？

4X2-12X-1=0;

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：(1)将方程两边同时除以4,得X2-3X--=0

4

移项，得x2-3x=i

4

配方，得X2-3X+(-)2=-+(-)2

242

即(X--)2=-

22

直接开平方，得x一：=±典

22

所以x=3土巫

22

3+加3-何

所以xi=2,X2=2

3,练习：用配方法解方程：

⑴2》2一7》-2=0(2)3X2+2X-3=0.

(3)2x2-4%+5=0

本课小结：让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到

方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的

一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

布置作业：P31页习题2.(3)、(4)、(5)、(6)

教后记：

第14课时

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教学内容：一元二次方程的解法（四）

教学目标：

1、熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方

教学方法：推导、练习

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

1

,3x~9—12.xH———0

（1）厂+15=1Ox（2）3

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元

二次方程的实数根呢？

二、探索

,（X臼2=入44

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程内?+版+c=°（a*°）转化为.a4a2呢？

2bC八

XH--XH--=0

因为aNO,方程两边都除以a,得aa

bc

x2+—x=——

移项，得aa

2cb,b，b、2c

x+2x——+（—）-=（—）---

配方，得2a2a2aa

/b、2b1-4ac

（x+—）=---；—

即2a4a2

b~-4ac

问题2：当。2-4acN0,且"0时，4a2大于等于零吗？

h2-4ac>o

得出结论：当。2-4acN0时，因为所以4a2>0,从而4a2。

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问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当〃-4函2°时，一般形式的一元二次方程加+笈+c=°(a'O)的

b,y/h2-4ac-b±\/h2-4ac

XT---—±---------X=-------------

根为2a2a，即2。o

_-b±\/b2-4ac

由以上研究的结果，得到了一元二次方程辰+c=°3彳°)的求根公式：”一工

(b2-4«c>0)

这个公式说明方程的根是由方程的系数。、匕、。所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中

系数。、°、。的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当。2-4觉2°时，方程有实数根吗？

三、例题

例1、解下列方程：

］、2x2+%—6=0.2、x2+4x-2.

3、5X2-4X-12=0.4、4x2+4%+10=l-8x5、x2-x+l=0

让学生反思以上解题过程，归纳得出：

当尸-4ac>°时，方程有两个不相等的实数根；

当。2-4"=°时，方程有两个相等的实数根；

当尸-4ac<°时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、P35练习。

2、阅读P32“阅读材料”。

小结：

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。

作业：P38习题4.(3)、(4)、(5)、(6)、

教后记：

第15课时

教学内容：实践与探索(一)

教学目标:

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1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程是本节课的重点，也是难点。

教学方法：练习合作交流

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程（3%—1）2=d+6x+9

让学生尝试用多种方法解方程。

3、现在，你能解决§23.1的问题1了吗？

二、解决问题

请同学们先看看P26页问题1,要想解决§23.1的问题1,首先要解方程f+lOx-900=0,同学伞能解这个

方程吗？

让学生动手解题并口答结果：X=-5-5后产=-5+5如

提问：

1、所求%、%都是所列方程的解吗？

2、所求为、々都符合题意吗？

让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去。

3.1和2说明了什么问题？

让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因

此，要注意是检验解是否符合题意；作为应用题，还应作答。

三、例题

例1.如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，

折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于厘米，宽等于厘米，S底面

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请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否□,____—□符合题意。

由学生回答解题过程，教师板书：i；

四、课堂练习ri

P36练习1、2

小结：

让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出

方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题

的解答。

作业：

P38习题5、6、7

教后记：

第16课时

教学内容：实践与探索（二）

教学目标：

1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。

重点难点：

本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。

教学方法：练习合作交流

教学过程：

一、创设问题情境

问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。

（精确到0.1%）

二、探索解决问题

分析：”两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样

的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为了,若原价为。，则第一次降价后的零

售价为=x）,又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。

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思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。

解：（略）

三、拓展引申

某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到

0.1%）

解，设原价为。元，每次升价的百分率为无，根据题意，得

a（l+x）2-1.2a

解这个方程，得

X——1-----

由于升价的百分率不可能是负数，所以5不符合题意，因此符合题意要求的尤为

x=—1+场出9.5%

5

答：每次升价的百分率为9.5%。

四、巩固练习

P37练习1、2

小结：

关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始

数据为。，设平均变化率为％,经第一次变化后数据为”（1±幻；经第二次变化后数据为以1±幻2。在依题意

列出方程并解得了值后，还要依据°＜工＜1的条件，做符合题意的解答。

作业：

P38习题8、9

教后记：

第17课时

教学内容：实践与探索（三）

教学目标：

1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，进行数学建模解决问题，体会方程是刻画现实世界的一个有

效数学模型。

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2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。

重点难点：

1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

教学方法：练习合作交流

教学过程：

一、巩固旧知识

1、解方程V-70x+825=0,并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？

二、创设问题情境

小明把一张边长为lOcvn的正方形硬