2020-2021学年长春市经开区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年长春市经开区八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.在-1.414,V2>兀，3.14，2+V3,3.212212221…这些数中，无理数的个数为（）

A.5B.2C.3D.4

2.下列计算正确的是（)

A.4M—2a2=2B.(a2)3=a5C.a3-a6—a9D.(2a2)3=6a6

3,从一堆苹果中任取了20个，称得它们的质量（单位：克），其数据分布表如下.则这堆苹果中,

质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的（）

分组(90,100)(100,110)(110,120)(120,130)(130,140)(140,150)

频数1231031

A.80%B.70%C.40%D.35%

4.如图，A/IBC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知4B=13,

AC=5,BC=12,阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小

鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）

A—n—r---

A.1561515U-5

如图，已知AB是O。的切线，8为切点，2。与O。交于点C,若NBA。=40°,

贝IJNOCB的度数为（）

A.40°

B.50°

C.60°

D.65°

6.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）

A.PQ为N4PB的平分线

B.PA=PB

C.点4,B到PQ的距离不相等

D.4APQ=乙BPQ

7.如图，在△ABC中，AB=AC,4D是BC边上的中线.AE1BE于点E,

且BE=和（；若4C=65°,贝此B4E的度数为（）

A.65°

B.55°

C.35°

D.25°

8.A、B两地相距1350km,两辆汽车从4地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大

汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3,求两车的速度.设大汽车的速度为

3xkm/h,小汽车的速度为所列方程是（）

A1350,11350,厂c135011350

A.——+—=——+5B.----------=——

3x25x3x25%

厂13501_1350-八13501_1350

C'_+5~+2=^T

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.比较大小：Vil+14.

10.因式分解：2/-32X4=

11.命题“如果％2=y2,那么x=y”是（真、假命题）

12.如图，在直线/上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3,5,7,正

放置的四个正方形的面积依次是S「52，S3,54，则S]+S2-53—S4=

13.等腰三角形周长为19cm,若有一边长为9cm,则等腰三角形其他两边长分别为

14.如图，正方形网格的边长为1,点力，B,C在网格的格点上，点P为

BC的中点，贝.

三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）

15.利用基的运算性质进行计算：7Wx妮x需.

16.若代数式(2/+公-丁+6)-2"2-3尤-5了-1的值与字母久无关，求代数式

*3-引-%?)的值。

四、解答题(本大题共8小题，共65.0分)

17.①先化简,再求值:(4%+3)(%-2)-2(x-l)(2x-3),x=-2；

②若(/+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含婷和/项，求p和q的值.

18.在某市开展的“美丽春城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区

参加义务劳动.为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数

据绘制成如下不完整的统计图表：

某校七年级部分同学的劳动时间频数分布表

劳动时间(时)频数

0.512

130

1.5m

218

合计100

(1)求ni的值，并补全频数分布直方图.

(2)被调查同学劳动时间的中位数是小时.

(3)求被调查同学的平均劳动时间.

0.511.52时间(时)

19.如图，CD=CA,Z1=Z2,EC=BC,与DE相等的线段是哪一条？

说明理由.

20.如图，已知AABF三△£»£1(7,S.AC=DF,说明△ABC三△DEF的理

由.

解：VAABF=^DEC

AB=,BF—

又BC=BF+,EF=CE+.

BC=_____

在△ABC与△DEF中

••.AABC=ADEF])

21.已知抛物线y=a/++c与x轴交于4B,与y轴交于点C,请仅用无刻度直尺按要求作图:

(1)在图1中，直线/为对称轴，请画出点C关于直线/的对称点；

(2)在图2中，若CD〃久轴，请画出抛物线的对称轴.

22.一架梯子的长度为2.5米，如图斜靠在墙上,梯子底端离墙底端为

0.7米.

(1)这个梯子顶端离地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米?

23.如图，在AABC中，ZSXC=90°,AB=AC,4D1BC于点D.

(1)如图1,点E,尸在AB,AC上，且NEDF=90。.求证：BE=AF；

(2)点M,N分别在直线4D,AC上，且乙BMN=90。.

①如图2,当点M在力。的延长线上时，求证：AB+AN=V2AM-.

②当点M在点力，D之间，且乙4MN=30。时,

24.如图，在边长为1的正方形4BCD中，点P是CD边上的动点(与C、。点不重合)，将△4DP沿4P翻

折，得到AAEP,延长PE交BC于点Q,连结EC、AQ.

(1)求证：(1)AABQ=AAEQ；@PQ=BQ+DP-,

(2)若BQ=DP,求DP的值;

(3)当PC=2DP时，探究线段EC与4Q的位置关系和数量关系，并证明你的结论.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：-1.414,3.14是有理数；

V2,兀，2+V3,3.212212221…是无理数；

故选：D.

先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得.

本题主要考查无理数的定义，根据无理数的定义逐一进行判断是解决本题的关键，属于简单题.

2.答案：C

解析：解：4、4a2—2a2=2a2,错误；

B、(a2)3=a6,错误；

C、a3-a6—a9,正确；

D、(2a2)3=8a6,错误；

故选：C.

本题考查了积的乘方和哥的乘方进行计算即可.

本题考查了积的乘方和幕的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

3.答案：B

解析：解：一""一=-=70%,

1+2+3+10+3+120

所以在整体中质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70%.

故选：B.

在样品中，质量不小于120克的苹果20个中有14个，通过计算在样本中所占比例来估计总体.

本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可.

4.答案:B

解析：解：=AC=5,BC=12,

•••AB2=BC2+AC2,

为直角三角形，

.•.△28。的内切圆半径=出尹=2,

SMBC=之4。，BC=巳x12x5=30,

S圆=4兀,

小鸟落在花圃上的概率=非=会；

故选：B.

根据2B=13,AC=5,BC=12,得出AB?=BC?+力。2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直

角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论.

本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半.同时也考查了

勾股定理的逆定理.

5.答案：D

解析：

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键在判断出N0B4为直角，AOBC是等腰

三角形，难度一般.根据切线的性质可判断NOBA=90。，再由NBA。=40。可得出N。=50。，在等

腰408c中求出NOCB即可.

解：「aB是。。的切线，B为切点，

•••OBLAB,即N0B4=90。，

•・•乙BAO=40°,

・•・乙。=50°,

•・•OB=OC,

1

•••乙OCB=j(180°-ZO)=65°.

故选D

6.答案：C

解析：

本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键.根据角平分线的作法

进行解答即可.

解：•.,由图可知，PQ是/APB的平分线，

A,B,。正确；

•••PQ是4&PB的平分线，PA=PB,

C.分别过点4、B作PQ的垂线段，根据44S可证出这两个直角三角形全等，即可得到点2、B到PQ的

距离相等，故C错误.

故选C.

7.答案：D

解析：解：-AB=AC,AE1BE,

BD=CD=-BC,^ADB=4ADC^ABC=AACB^BAD=ACAD=-ABAC,

2=90°,=65°,2

在△ZBC中，AB=AC,ZC=65°,

・•.^BAC=180°-65°x2=50°,

・•・乙BAD=ACAD=-ABAC=25°,

2

又BE=\BC.

BE=BD—CD,

又AB=AB,

••・Rt△AEB=Rt△ADB(HL),

・•・/,BAE=匕BAD=25°,

故选：D.

由等腰三角形的三线合一，可得出B。=CD=\BC,^BAD=^CAD=[NBAC,再根据等腰三角形

的性质可求出ABAD的度数，再依据条件可证出RtAAEB三RtAADB,根据全等三角形的对应角相

等得出答案.

考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和，以

及全等三角形的性质和判定是正确解答的前提.

8.答案：A

解析：试题分析：分别求出两辆汽车从4地到B地的时间，然后找出等量关系：大汽车的行驶时间=

小汽车的行驶时间+5,据此列方程.

设大汽车的速度为3xMn//i,小汽车的速度为5萩爪/八，

==*/i=i1350,11350,广

由题意得，-+-=+5.

3%25%

故选A.

9.答案:>

解析：解：V11+1>3+1=4,

VTT+1>4.

故答案为：>.

应用放缩法，判断出VII+1与4的大小关系即可.

此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：正实数〉0＞负实数，

两个负实数绝对值大的反而小.

10.答案：2x2(l+4x)(1—4x)

解析：

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来

说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.此多项式有公因式，应先

提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解.

解：2产—32产

=2/(1—16%2)

=2/(1+4x)(1—4x).

故答案为：2%2(1+4x)(1-4%).

1L答案：假

解析：解：当X=—1,y=l时，满足/=y2,但无力丫，

故原命题是假命题.

故答案为：假.

判断该命题是假命题只需找到一个反例即可.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够举出反例，难度不大.

12.答案：—4

解析：解：如图，观察发现，

•••AACB=乙BDE=90°,

•••/.ABC+ABAC=90°,

•••AABC+乙EBD=90°,

Z.BAC=/.EBD,

在△ABC与ABED中,

AACB=乙BDE

Z.BAC=乙EBD,

AB=BE

・•△ABC三ABED(AAS),

BC=ED,

22

■：AB=g+Bc,

：.AB2=AC2+ED2=Si+S2，

即Si+S2=3,

同理S3+S4=7.

则S'1+S2-S3—S4=3—7=-4.

故答案为：-4.

运用勾股定理可知，每两个相邻的小正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答.

此题考查了正方形的性质，运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理.注意发现两个小正方形

的面积和正好是中间的正方形的面积.

13.答案：9cm>lczn或5cm、5cm

解析：解：①当9cm为腰长时，则腰长为9cm,底边=19-9-9=1cm,因为9+1>9,所以能

构成三角形；

②当9sn为底边时，则腰长=(19-9)+2=5cm,因为5+5>9,所以能构成三角形.

则等腰三角形其他两边长分别为9cm、1cm或5cm、5cm.

故答案为：9cm、1cm或5cm、5cm.

题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解.

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检

验.

14.答案：延

2

解析：

此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的性质，关键是确定三角形是直角三角形.

2

首先根据网格计算出M+32=10,AB2=22+62=40,CB=F+72=50,进而可得

/.CAB=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.

解：AC2=M+32=10,AB2=22+62=40,CB2=I2+72=50,

AC2+AB2=CB2,

.­.乙CAB=90°,

•••点P为BC的中点,

XP—BC=-X

22

故答案为第

15.答案：解：原式=7x3^x3：x3意=7x3=2L

解析：原式利用分数指数基变形，计算即可求出值.

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.答案：(2汽2+ax—y+6)—2bx2—3x—5y—1

=(2-2b)x+(«-3)x-6y+5，

•・•代数式(2%2+ax-y+6)-2bx2-3%-5y-1的值与字母%所取的值无关,

2-2b=0,a—3=0,

b=1,a=3,

3232

-a-2b-(Ta-3b)

-a3-2b2--a3+3b2

—a3+b2

=—x(3)3+12

然

-+1

解析：去括号后合并得出(2-必)f+(a-3)x-6y+5,根据已知得出2—2b=0,a—3=0,

求出b=l,a=3,把求值的代数式整理后代入求出即可.

17.答案：解：原式=4/—8%+3%—6—2(2/—3%—2.x+3)

=4%2—5%—6—4%2+10%—6

=5%—12,

当％=-2时，

原式=5X(—2)—12=—22；

②v(x2+p%+q)(x2—3%+2)的结果中不含/和一项，

・,・原式=x4—3x3+2x2+px3—3px2+2px+qx2—3qx+2q

=—+(-3+p)%?+(2—3p+q)x2+(2p—3q)%+2q,

—3+p=0,2—3P+q=0,

解得：p=3；q=7.

解析：①直接利用多项式乘以多项式运算法则化简，再把己知数据代入得出答案；

②直接利用多项式乘以多项式运算法则化简，得出/和/项的系数为零，进而得出答案.

(2)1.5；

⑶被调查同学的平均劳动时间为京(0.5X12+1X30+1.5X40+2X18)=1.32(小时).

解析：

解：(1)见答案；

(2)同学劳动时间的中位数是1.5小时，故答案是：1.5；

(3)见答案.

(1)利用总人数减去其它组的人数求得小的值，进而补全直方图；

(2)根据中位数的定义求解；

(3)利用加权平均数公式即可求解.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总

体的百分比大小.

19.答案：解：DE=48.理由如下：

zl=Z2,

Z.1+ACE=z2+Z.ACE,

即Z4CB=乙DCE,

在△ABC和AOCE中，

CA=CD

乙ACB=4DCE,

、BC=EC

••.AXCB=ADCE(SAS),

AB=DE.

解析：先利用=N2得至=乙DCE,然后根据“S4S”证明AdCB三ADCE,则根据全等三角

形的性质得。E=48.

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相

等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

20.答案：DE-,CE；FC；CF；EF；BC=EF-,NB=NE；AB=DE-,SAS

解析：解：根据AABF三△£>£1(：可得AB=DE,BF=CE,

■：BC=BF+FC,EF=CE+CF.

BC=EF.

BC=EF

在△ABC与△DEF中，jzB=Z.E,

AB=DE

••.△ABC三△DEF(SAS).

根据AABFmADEC可得A8=DE,BF=CE,运用SAS的判定方法易证△4BC三△DEF.

本题考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了全等三角形S4S方法的判定，熟练运用全等三角

形对应边相等的性质是解题的关键.

21.答案:解：（1）如图1：

点C关于直线2的对称点为点D；

直线/为抛物线的对称轴.

解析：（1）根据对称性即可画出点C关于直线I的对称点；

（2）根据对称性即可画出抛物线的对称轴.

本题考查了复杂作图、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练运

用对称性.

22.答案：解：（1）•••在RtZkABC中，AB=2.5m,BC=0.7m,

■.AC=7AB2-BC2=V2.52-0.72=2.4（m）.

答：这个梯子顶端离地面有2.4小；

（2）•••梯子的顶端下滑了0.4米，

A'C=2m,

•••在RtAA'B'C中，A'B'=2.5m,A'C=2m,

B'C=y/A'B'2-A'C2=V2.52-22=1.5m-

BB'=B'C-BC=1.5-0.7=0.8m.

答：梯子的底部在水平方向滑动了0.8米.

解析：（1）直接根据勾股定理求出4C的长即可；

(2)先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出4c的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论.

此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长

的平方之和一定等于斜边长的平方.

23.答案：解：(1)•••^BAC=90°,AB=AC,

/.AB=AC=45°,

AD1BC,

BD=CD,乙BAD=ACAD=45°,

•••Z.CAD—Z-B,AD—BD,

•・•乙EDF=乙ADC=90°,

Z.BDE=Z-ADF,

DE=DF；

(2)①如图1,过点M作MP1AM,交AB的延长线于点P,

Z.AMP=90°,

•・•^PAM=45°,

••・乙P=^PAM=45°,

・•.AM=PM,

•••乙BMN=/-AMP=90°,

・•・Z.BMP=乙AMN,

•・•/-DAC=ZP=45°,

：^AMN=^PMB(ASA),

AN=PB,

・•.AP=AB+BP=AB+AN,

在尸中，/-AMP=90°,AM=MP,

AP=仿IM,

・•.AB+AN=V2AM;

②在中，AD=BD=^-AB=V2,

•・•乙BMN=90°,乙AMN=30°,

・•・Z.BMD=90°-30°=60°,

在BOM中，DM=——=—

tanz.BMD3

.：AM=AD-DM=V2^.

解析：(1)先判断出NB/W=NCW=45。，进而得出NC4D=NB,再判断出NBDE=NADF,进而判

断出△BDEmAADF,即可得出结论;

(2)①先判断出AM=PM,进而判断出/BMP=4AMN,判断出△AMNmAPMB,即可判断出4P=

AB+AN,再判断出4P=V^4M,即可得出结论;

②先求出BD,再求出NBMD=60。，最后用三角函数求出DM,即可得出结论.

此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函

数，判断出ABDE三△4DF是解⑴的关键，构造出全等三角形是解(2)的关键.

24.答案：(1)证明：①•.•四边形48CD是正方形,

・•.AB=ADfz_B=CD=90°.

VAAEP=AADP,

・•.AE=AD,乙AEP=Z.D=90°.

AB=AE,ZB=^AEQ