广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

PAGE广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x=0的斜率为（） A． 0 B． C． 1 D． 不存在2．（5分）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（） A． B． ﹣2 C． 2 D． 3．（5分）若O、A、B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A． B． C． D． 4．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（） A． 30° B． 45° C． 150° D． 135°5．（5分）某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级300人，2014-2015学年高二年级200人，2015届高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（） A． 15、5、25 B． 15、15、15 C． 10、5、30 D． 15、10、206．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． 16+8π B． 8+8π C． 16+16π D． 8+16π7．（5分）若b为实数，且a+b=2，则3a+3b A． 18 B． 6 C． 2 D． 28．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（） A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形 C． 为钝角三角形 D． 前三种形状都有可能二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第象限．10．（5分）到椭圆+=1左焦点的距离与到定直线x=2距离相等的动点轨迹方程是．11．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值是．12．（5分）若执行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于．（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S：=0”．）13．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，15．（12分）在△ABC中，A、B、C、是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin216．（12分）荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的PM2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀[0，50）”、第二组“良好[50，100）”、第三组“轻度污染[100，150）”、第四组“中度污染[150，200）”和第五组“重度污染[200，250]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为2：8：9：5：1，第一组数据的频数是4．（Ⅰ）求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率；（Ⅱ）从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率．17．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：AB∥平面PCD（2）求证：BC⊥平面PAC（3）求二面角A﹣PC﹣D的平面角a的正弦值．18．（14分）设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．19．（14分）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{an﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．20．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x=0的斜率为（） A． 0 B． C． 1 D． 不存在考点： 直线的斜率．专题： 计算题；直线与圆．分析： 直线x=0的斜率不存在．解答： 解：直线x=0的斜率不存在．故选：D．点评： 本题考查直线的斜率，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（） A． B． ﹣2 C． 2 D． 考点： 等比数列．专题： 等差数列与等比数列．分析： 根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．解答： 解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．点评： 本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．3．（5分）若O、A、B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A． B． C． D． 考点： 向量加减混合运算及其几何意义．专题： 计算题．分析： 直接根据向量的减法表示即可得到正确选项．解答： 解：由向量的减法知故选B点评： 本题主要考查向量的减法运算，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（） A． 30° B． 45° C． 150° D． 135°考点： 余弦定理．专题： 解三角形．分析： 由余弦定理求得cos∠C=的值，可得∠C的值．解答： 解：在△ABC中，由于已知a2+b2=c2+，则由余弦定理可得cos∠C===，∴∠C=45°，故选B．点评： 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（5分）某校高中生共有900人，其中2014-2015学年高一年级300人，2014-2015学年高二年级200人，2015届高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级抽取的人数分别为（） A． 15、5、25 B． 15、15、15 C． 10、5、30 D． 15、10、20考点： 分层抽样方法．专题： 计算题．分析： 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．解答： 解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在2014-2015学年高一年级抽取的人数是300×=15人，2014-2015学年高二年级抽取的人数是200×=10人，2015届高三年级抽取的人数是400×=20人，故选D．点评： 本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． 16+8π B． 8+8π C． 16+16π D． 8+16π考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2，2，∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选：A．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．7．（5分）若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（） A． 18 B． 6 C． 2 D． 2考点： 基本不等式．分析： 3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．解答： 解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B点评： 本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．8．（5分）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（） A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形 C． 为钝角三角形 D． 前三种形状都有可能考点： 三角形的形状判断．专题： 计算题．分析： 根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出•为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．解答： 解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到•=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选A点评： 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第三象限．考点： 三角函数值的符号．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意可得sinθ＜0，cosθ＜0，可判点P在第三象限．解答： 解：∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴点P（sinθ，cosθ）在第三象限故答案为：三点评： 本题考查三角函数值的符号，属基础题．10．（5分）到椭圆+=1左焦点的距离与到定直线x=2距离相等的动点轨迹方程是y2=﹣8x．考点： 椭圆的简单性质．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 通过椭圆的左焦点及题意可知动点轨迹为抛物线，进而可得结论．解答： 解：椭圆+=1左焦点坐标为（﹣2，0），由抛物线定义得：到左焦点（﹣2，0）的距离与到定直线x=2距离相等的动点轨迹是以（﹣2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线，∴动点轨迹方程是：y2=﹣8x，故答案为：y2=﹣8x．点评： 本题考查求抛物线的方程，注意解题方法的积累，属于基础题．11．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值是﹣2．考点： 简单线性规划．专题： 计算题；不等式的解法及应用．分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=0且y=2时，z取得最小值．解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（0，2），C（0，﹣2）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（0，2）=﹣2故答案为：﹣2点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12．（5分）若执行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于．（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S：=0”．）考点： 程序框图．专题： 图表型．分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+=1﹣=．故答案为：．点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．13．（5分）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为．考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；压轴题．分析： 由a＞b＞0，∴，从而判断渐近线的倾斜角为，得到，再根据c2=a2+b2，得到离心率．解答： 解：∵a＞b＞0，∴，因为两条渐近线的夹角为，所以，渐近线的倾斜角为，即，∴，∴．故答案为：．点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出a．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是②③．考点： 轨迹方程．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．解答： 解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为：②③．点评： 此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，15．（12分）在△ABC中，A、B、C、是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．考点： 余弦定理的应用；正弦定理．专题： 计算题．分析： （Ⅰ）根据余弦定理及b2+c2﹣a2=bc求得cosA的值，进而求出A．（Ⅱ）通过sin2A+sin2B=sin2C和余弦定理可得b2+a2=c2，推断△ABC为直角三角形．根据（Ⅰ）的，求出B．解答： 解：（Ⅰ）根据余弦定理，在△ABC中，b2+c2﹣a2=2bccosA又b2+c2﹣a2=bc．∴cosA=，又A∈（0，π）∴（Ⅱ）∵sin2A+sin2B=sin2C，∴由正弦定理得，即：b2+a2=c2故△ABC是以∠C为直角的直角三角形又∵，∴B=．点评： 本题主要考查余弦定理的应用．解本题的关键是通过余弦定理及题设条件求出cosA的值．16．（12分）荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的PM2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀[0，50）”、第二组“良好[50，100）”、第三组“轻度污染[100，150）”、第四组“中度污染[150，200）”和第五组“重度污染[200，250]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为2：8：9：5：1，第一组数据的频数是4．（Ⅰ）求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率；（Ⅱ）从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率．考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）根据第一组至第五组数据的频率之比为2：8：9：5：1，第一组数据的频数是4，确定样本容量，从而可求空气质量为优秀或良好等级的概率；（II）分别求出抽取的两份数据、两份数据都是优秀等级的情况总数，利用古典概型的概率公式，即可得出结论．解答： 解：（I）设样本容量为n，则，解得n=50，…（2分）空气质量为优秀或良好等级的概率为．…（5分）（II）测试结果为优秀等级[0，50）的有天，设为a、b、c、d…（6分）测试结果为重度污染等级[200，250]的有天，设为x、y…（7分）设抽取的两份数据为m、n，则（m，n）共有如下15种情况：（a，b）、（a，c）、（a，d）、（b，c）、（b，d）、（c，d）、（x，y）、（a，x）、（a，y）、（b，x）、（b，y）、（c，x）、（c，y）、（d，x）、（d，y），…（9分）两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：（a，b）、（a，c）、（a，d）、（b，c）、（b，d）、（c，d）…（10分）设“两份数据都是优秀等级”为事件A，则．答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为…（12分）点评： 本题考查概率的计算，考查枚举法确定基本事件，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（1）求证：AB∥平面PCD（2）求证：BC⊥平面PAC（3）求二面角A﹣PC﹣D的平面角a的正弦值．考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题： 空间角；空间向量及应用．分析： （1）直接利用线面平行的判定定理证明；（2）证明BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直于面PAC内的两条相交直线即可，由已知可以得到PA垂直于BC，通过解三角形证明AC垂直于BC，然后直接借助于线面垂直的判定证明BC⊥平面PAC；（3）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，标出点的坐标，求出两个面的法向量，利用两个平面法向量所成角的余弦值得到二面角A﹣PC﹣D的平面角α的正弦值．解答： （1）证明：如图，∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，DC⊂平面PCD．∴AB∥平面PCD；（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，∴CE=BE=1，CB=．∴AD=CE=1，则，AC2+BC2=AB2．∴BC⊥AC．又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A．所以BC⊥平面PAC．（3）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．∴，．设为平面PAC的一个法向量，由，得，取b=﹣1，得a=1．所以．设为平面PCD的一个法向量，由，得，取f=1，得d=1，e=0．所以．所以二面角A﹣PC﹣D的平面角α的正弦值=．点评： 本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，解答的关键是明确二面角的平面角与二面角的两个平面法向量所成角的关系，是中档题．18．（14分）设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．考点： 复合命题的真假．专题： 函数的性质及应用．分析： 由命题P成立，求得a＜﹣1，由命题Q成立，求得a≤﹣2，或a≥1．由题意可得p真Q假，或者p假Q真，故有，或．解这两个不等式组，求得a的取值范围．解答： 解：由命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，可得x2﹣2x﹣a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，a＜﹣1．由命题Q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，可得△′=4a2﹣4（2﹣a）=4a2+4a﹣8≥0，解得a≤﹣2，或a≥1．再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得p真Q假，或者p假Q真．故有，或．求得﹣2＜a＜﹣1，或a≥1，即a＞﹣2．故a的取值范围为（﹣2，+∞）．点评： 本题主要考查命题真假的判断，二次不函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（14分）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{an﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．考点： 数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．专题： 综合题．分析： （Ⅰ）整理题设an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），进而可推断数列{an﹣n}是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{an﹣n}的通项公式，进而可得{an}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn．（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根据证明原式．解答： 解：（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an﹣