考研数学一(填空题)模拟试卷50(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷50(题后含答案及解析)题型有：1.1．设=8，则a=_________．正确答案：ln2解析：因为=e3a，因此e3a=8，所以a=ln2．知识模块：函数、极限、连续2．已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．正确答案：1解析：根据A2－A＝A(A－E)，已知矩阵A＝，A是可逆矩阵，因此r(A2－A)＝r(A－E)，而r(A－E)＝1，所以r(A2－A)＝1．知识模块：矩阵3．若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a.x=一8，则向量x=_______．正确答案：一4i+21—4k涉及知识点：高等数学4．设y=ln(1+3-x)，则dy=_______正确答案：解析：复合函数求导y’=[-ln(1+3-x)]’=知识模块：一元函数微分学5．设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=_______．正确答案：1╱2解析：由于F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt=x2∫f’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)－x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而=2f’(0)=1，故f’(0)=1／2．知识模块：高等数学6．已知F(x)是f(x)的一个原函数，则正确答案：解析：因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以，F’(x)=f(x)。令u=e-x，则知识模块：一元函数积分学7．=______。正确答案：解析：知识模块：高等数学8．正确答案：a＝ln2解析：知识模块：高等数学部分9．袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则P{X=k}=_____(k=1，2，…)．正确答案：解析：若记Ai=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知再由几何分布即得知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X-0．4，则Y与Z的相关系数为____________.正确答案：0.9涉及知识点：综合11．已知则r(A—E)+r(2E+A)=_________．正确答案：3解析：存在可逆阵P，使得知识模块：线性代数12．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，若是θ2的无偏估计，则c=_______。正确答案：解析：由题意得：θ2=知识模块：概率论与数理统计13．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为___________．正确答案：y”‘一3y”+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’一2y=0．知识模块：高等数学14．曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕z轴旋转一周所形成旋转体的体积为_______．正确答案：解析：曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形D如图39所示，取x为积分变量，x∈[1，2]，则所求旋转体的体积为知识模块：高等数学15．设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z==___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学16．设y=y(x)由=___________．正确答案：e—1解析：知识模块：高等数学17．幂级数的收敛域为__________。正确答案：令x－2=t，则转为判别级数的收敛域。因为所以收敛半径为当t=±2时，发散，所以的收敛域为(－2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)。涉及知识点：无穷级数18．曲面z一ez+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．正确答案：2x+y-4=0解析：令F(x，y，z)=z－ez+2xy－3，则所以，切平面的法向量为(4，2，0)，由点法式得出切平面的方程为2x+y-4=0．知识模块：向量代数与空间解析几何19．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)______．正确答案：解析：将等式两边除以△x，得令△x→0，因为所以分离变量，得等式两边积分，得ln｜y｜=arctanx+ln｜C｜，于是y=Cearctanx，由y(0)=π，得C=π，所以y=πearctanx，于是y(1)=知识模块：高等数学20．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。正确答案：解析：令，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同规范形。二次型f=y1y2的矩阵为，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为知识模块：线性代数21．设A是三阶矩阵，其三个特征值为一，1，则|4A*+3E|=___________．正确答案：10解析：|A|=一，4A*+3E的特征值为5，1，2，于是|4A*+3E|=10．知识模块：线性代数22．设则B－1=______．正确答案：解析：知识模块：线性代数23．设A是2阶实对称阵，有特征值λ1=4，λ2=－1，ξ1=[－2，1]T是A对应于λ1的特征向量，β=[3，1]T，则Aβ=______．正确答案：[7，－6]T解析：A是实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交，λ1=4对应的特征向量为ξ1=[－2，1]T，则对λ2=－1的特征向量可取ξ2=[1，2]T．将β由ξ1，ξ2表示．设β=x1ξ1+x2ξ2，解得[x1，x2]T=[－1，1]T，故β=－ξ1+ξ2．Aβ=A(－ξ1+ξ2)=知识模块：线性代数24．设随机变量X～N(μ，σ2)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0．5，则μ=________。正确答案：4解析：设事件A表示“二次方程)y2+4y+X=0无实根”，则A={16—4X＜0}={X＞4}，依题意，有P(A)=。而P{X＞4}=1—P{X≤4}