四川省绵阳市名校联盟2022-2023学年九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知反比例函数y=-9,下列结论中不正确的是.（）

x

A.图象必经过点（3,-2）B.图象位于第二、四象限

C.若％<-2,则y>3D.在每一个象限内，随x值的增大而增大

2.如图，函数产履+。（期0）的图象经过点8（2,0）,与函数y=2x的图象交于点A,则不等式0VAx+b<2x的解集

A.l<x<2B.x>2C.x>0D.0<x<l

3.已知一组数据:2,5,2,8,3,2,6,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.中位数是3,众数是2B.中位数是2,众数是3

C.中位数是4,众数是2D.中位数是3,众数是4

4.张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为3米，同时与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的

高为O

A.3.2米B.4.8米C.5.2米D.5.6米

5.用配方法解方程V+2x-3=0时，可将方程变形为（）

A.（X+1）2=2B.（1）2=2C.（X—1）2=4D.（X+1）2=4

6.如图的4x4的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点。是（）

c

A.AACD的外心B.AABC的外心C.AACD的内心D.AABC的内心

7.二次函数y二ax2+bx+c（aW0）的图象如图,则反比例函数y=@与一次函数y=bx-C在同一坐标系内的图象大致是

X

8.如图，在RtA/WC中，ZC=90\AC=4,BC=3,点。是AB的三等分点，半圆。与AC相切，M,N分别

是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）

9.下列图像中，当,力>（）时，函数y=以2与>=以+6的图象时（）

10.二次函数丫=奴2+。（b>0）与反比例函数v=q在同一坐标系中的图象可能是（）

X

yvyy

41^

11.如图，两个反比例函数乂=—和）在第一象限内的图象依次是Ci和C2,设点P在Ci上，PC，x轴于点C,

XX

交C2于点A,PDJLy轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

12.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕A逆时针方向旋转40。得到△ADE,点B经过的路径为弧BD,

是图中阴影部分的面积为（）

NJDDI----

A.—JT-6B.—nC.—rc-3D.J33+n

398

二、填空题（每题4分，共24分）

13.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是一

*。+力5.a

14.若丁=5'则n厂

15.在RfziABC中，ACtBC=1：2,则si"B=.

16.已知抛物线y=ax?+bx+c（a*0）与x轴的两个交点的坐标分别是（-3,0）,（2,0）,则方程ax2+bx+c=0（aM）的

解是•

17.如图，在反比例函数v=—9（x<0）的图象上任取一点P,过尸点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M,N,

X

那么四边形PMON的面积为.

18.设%、々是关于X的方程/+3x_5=0的两个根，则玉+w-玉•％=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F.

(1)求证：ADDE=ABBF；

（2）联结AC,如果空=求证；£AF

DECDBC2

20.（8分）有一辆宽为2%的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）.为确保车辆安全通行，规定货车

车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5加.已知隧道的跨度A3为8m，拱高为4m.

（1）若隧道为单车道，货车高为3.2〃?，该货车能否安全通行？为什么？

（2）若隧道为双车道，且两车道之间有0.4机的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.

->|2m

□

图①

21.（8分）如图，M为线段A3的中点，AE与BD交于点C,ZDME=ZA=ZB=a,且DM交AC于/，ME

交于G.

(1)证明：AAMFS&BGM.

(2)连结bG,如果a=45°,A5=472»AF=3,求/G的长.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线丁=一耳尤+4分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D

在第二象限内，E是BC中点，OFJLDE于点F,连结OE,动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q

在直线BC上从某点Qi向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点.

fl1

(2)设点Q2为(m,n),当一=—tanNEOF时，求点Q2的坐标；

m7

(3)根据(2)的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.

①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q=S,AP=t,求s关于t的函数表达式.

②当PQ与aOEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.

23.(10分)在RtaABC中，ZACB=90°,AC=1,记NA3C=a,点O为射线BC上的动点，连接AZ),将射线

D4绕点。顺时针旋转a角后得到射线。E,过点A作AO的垂线，与射线DE交于点P,点8关于点。的对称点为Q,

连接PQ.

备用图

(1)当△ABO为等边三角形时，

①依题意补全图1;

②P。的长为;

4

(2)如图2,当a=45°,且80=一时，求证：PD=PQ；

(3)设8C=t,当PO=P。时，直接写出50的长.(用含f的代数式表示)

24.(10分)如图，是以AB为直径的。。的切线，5为切点，8C平分NA8M,弦CZ)交A3于点E,DE=OE.

(1)求证：AAC8是等腰直角三角形;

(2)求证：OA2=OE.OC：

(3)求tanNAC。的值.

25.(12分)如图，抛物线y=V+法+c过原点，且与x轴交于点42,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点8的坐标；

(2)已知C(3,〃?)为抛物线上一点，连接QB,OC,BC,求tanNQBC的值；

(3)在第一象限的抛物线上是否存在一点P,过点P作PM_Lx轴于点M，使以。，P，M三点为顶点的三角形

与AOBC相似，若存在，求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，直线h与x轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),OA=yOB,点C(-3,n)在直线

Ii±.

⑴求直线h和直线OC的解析式；

⑵点D是点A关于y轴的对称点，将直线OC沿y轴向下平移,记为L,若直线L过点D,与直线h交于点E,求ABDE

的面积.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1,C

【分析】A.将x=3代入反比例函数，根据所求得的y值即可判断；

B.根据反比例函数的k值的正负即可判断；

C.结合反比例函数的图象和性质即可判断；

D.根据反比例函数的k值的正负即可判断.

【详解】解：A.当x=3时，y=-|=-2,故函数图象必经过点(3,-2),A选项正确；

B.由反比例函数的系数k=-6V0,得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；

c.由反比例函数图象可知：当x<—2,则y<3,故本选项不正确；

D.由反比例函数的系数k=-6<0,得到反比例函数图象在各自象限y随x的增大而增大，故本选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，反比例函数y=&(AWO),当k>0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随

X

X的增大而减小；当kVO时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随X的增大而增大.在做本题的时候可根

据k值画出函数的大致图，结合图象进行分析.

2、A

【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>l时，直线y=lx都在直线y=kx+b

的上方，当xVl时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式OVkx+b<lx的解集.

【详解】设A点坐标为（x,1）,

把A（x,1）代入y=lx,

得lx=L解得x=l,

则A点坐标为（1,1）,

所以当x>l时，lx>kx+b,

•.•函数y=kx+b（k和）的图象经过点B（1,0）,

.\xVl时,kx+b>0»

二不等式OVkx+bVlx的解集为1VxVl.

故选A.

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0

的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

3、A

【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数.

【详解】解：将这组数据从小到大排列为：

2,2,2,3,5,6,8,

最中间的数是3,

则这组数据的中位数是3；

2出现了三次，出现的次数最多，

则这组数据的众数是2；

故选：A.

【点睛】

此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个

数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数.

4、A

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个

直角三角形相似.

【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例，

设这棵树的高度为xm,

16x

则可列比例为，—

36

解得，x=3.1.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力.

5、D

【分析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，配方即可.

【详解】解：f+2x—3=0

x2+2x=3

+2x+1=4

(x+l『=4

故选D.

【点睛】

本题考查了配方法解方程的步骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键.

6、B

【分析】连接OA、OB、OC、OD,设网格的边长为1,利用勾股定理分别求出OA、OB、OC,OD的长，根据。点

与三角形的顶点的距离即可得答案.

【详解】连接OA、OB、OC、OD,设网格的边长为1,

•••OA=V32+22=V13,

OB=V32+22=Vi3,

OC=732+22=V13,

OD=V22+12=y[5,

VOA=OB=OC=V13,

.•.0为4ABC的外心，

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.

7、C

【解析】根据二次函数的图象找出。、入c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论.

【详解】解：观察二次函数图象可知：

b

开口向上，a>l；对称轴大于1,——>1,Z»<1；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c>L

2a

•.•反比例函数中及=-aVL

...反比例函数图象在第二、四象限内；

■:一次函数中，b<l,-c<l,

二一次函数图象经过第二、三、四象限.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出。、

c的正负.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出“、从c的正负，再结合反比例函

数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论.

8、B

【解析】设。。与AC相切于点。，连接0D,作。垂足为尸交。。于尸，此时垂线段。尸最短，PF最小值为

OP-OF,当N在48边上时，M与8重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.

【详解】如图，设。。与AC相切于点。，连接0。，作垂足为尸交。0于尸，

此时垂线段。尸最短，尸尸最小值为0P—0/，

VAC=4,BC=3,

：.AB=5

•：NOPB=9d，

：.OP\\AC

•.•点。是A8的三等分点,

OPOB2

：.OB=-x5^—

33AC-AB-3

；.0P=-,

3

与AC相切于点O,

ZODIAC,

:.ODUBC,

.OPOA\

:.OD-1,

os

...MN最小值为OP-OF=—-1=-,

33

如图，当N在48边上时，M与〃重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长,

口―10,13

MN最大值1-1=—,

33

513<

-+—=6,

33

.•.MN长的最大值与最小值的和是1.

故选8.

【点睛】

此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.

9,D

【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a>0,b<(),与ab>0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax?

开口向上得到a>0,而由直线丫=2*+1)经过第二、四象限得到a<0,由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax?开口向

下得到aVO,而由直线丫=2*+1)经过第一、三象限得到a>0,由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax?开口向下得到

a<0,则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b<0,得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断.

【详解】解：A、对于直线丫=2*+1),得a>0,b<0,与ab>0矛盾，所以A选项错误；

B、由抛物线y=ax2开口向上得到a>0,而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a<0,所以B选项错误；

C、由抛物线丫=2*2开口向下得到aVO,而由直线丫=2*+1)经过第一、三象限得到a>0,所以C选项错误；

D、由抛物线y=ax2开口向下得到a<0,则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab>0,则b<0,所以直线与y轴的

交点在x轴下方，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础.

10、B

【解析】试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行

判断，从而对各选项作出判断：

:当反比例函数y=q经过第二、四象限时，aVO,.,.抛物线y=℃2+/,(b>0)中aVO,b>(),

X

，抛物线开口向下.所以A选项错误.

•.•当反比例函数y=N经过第一、三象限时，a>0,...抛物线>=公2+6(b>0)中a>0,b>0,

X

抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方.所以B选项正确，C,D选项错误.

故选B.

考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用.

11、B

【解析】试题分析：TPCLx轴，PDLy轴，

.11

•«S矩形PCOD=4,SAAOC=SABOD=_xl=一,

22

四边形PAOB的面积=S矩形PCOI>-SAAOC-SABOI)=4----=1.

22

故选B.

考点：反比例函数系数k的几何意义.

12、B

【解析】根据AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状,根据旋转的性质得到AAED的面积=AABC

的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可.

【详解】解：VAB=5,AC=3,BC=4,

.•.△ABC为直角三角形，

由题意得，AAED的面积=AABC的面积，

由图形可知，阴影部分的面积=44£口的面积+扇形ADB的面积-AABC的面积，

...阴影部分的面积=扇形ADB的面积=竺竺2-=三万，

3609

故选B.

【点睛】

考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题

的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

【解析】试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.共有正反，正正，反正，反反4种可能,

则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为!.

故答案为L.

4

考点：概率公式.

【解析】根据分式的性质即可解答.

a+bb5

【详解】V——=1+-=-,

aa2

.b3

»・—

a2

：.・——a=一2

b3

【点睛】

此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.

15、，或正

25

【分析】根据AC:3C=1:2可知NBw90°,因此分NA=90。和NC=900两种情况讨论，当NA=90。时,

ACAC

sin8=—；当NC=90°时，利用勾股定理求出斜边AB,再由sin8=「即可得.

BCAB

【详解】vAC:BC=1:2

(1)当NA=90°时，BC为斜边，AC为D3所对的直角边

AC]_

则sin6="

BC2

(2)当NC=90°时，AB为斜边，AC为E>8所对的直角边

设AC=x,则3C=2AC=2x

由勾股定理得：ABZAO+BC?=&

则sinB=——=—y=-=■

BC&5

综上，答案为,或好.

25

【点睛】

本题考查了直角三角形中锐角三角函数，熟记锐角三角函数的计算方法是解题关键.

16>«xi=-3,xi=2

【详解】解：,••抛物线¥=”产+桁+以中0)与x轴的两个交点的坐标分别是(-3,0),(2,0),

:.当x=-3或x=2时,j=0,

即方程,优2+法+c=o的解为玉=-3,X2=2.

故答案为：玉=-3,x2=2.

17、1

【分析】设出点P的坐标，四边形PMON的面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可.

【详解】设点尸的坐标为G,y),

•••点尸的反比例函数的图象上，

.".xy=-1,

作PMLx轴于"，作PNJ,y轴于N,

...四边形尸MON为矩形，

二四边形PMON的面积为lry|=L

故答案为L

【点睛】

考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比

例系数.注意面积应为正值.

18、1

【分析】根据根与系数的关系确定玉+々和玉・马，然后代入计算即可.

【详解】解：•.•/+31一5=0

二玉+x2=-3,%1•x2=-5

:.X]+x2-xt*x2=-3-(-5)=l

故答案为1.

【点睛】

hc

本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于以公+c=()(a邦)，则有：玉+/=一一，内・马=一是解答本题的关

aa

键.

三、解答题(共78分)

19、（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）证明四边形A3CO是平行四边形即可解决问题.

SAC2

(2)由△ACF'SACDE,\CDE^\CBF,推出△AbsACBb,可得=-又AACF与ACM等高,

S^CBFBC

,可得结论空AF

推出

S&CBFBFBC2~BF

【详解】解：(D••・四边形ABCD是平行四边形,

：.CD//AB,AD//BC,

:"CDE=NDAB,NCBF=/DAB,

：.ZCDE=ZCBF,

\-CELAE,CFA.AF,

:.NCED=NCFB=90°,

:.ACDEs^CBF,

•.•-B-C--C-D-,

BFDE

••・四边形ABC。是平行四边形，

BC=AD，CD=AB,

ADAB

：.——=一,

BFDE

：.ADDE=AB-BF.

(2)如图:

—=——,ZCED=ZCFB=90°,

DECD

.-.MCF^ACDE,

又：NCDEsbCBF,

：.MCF^^CBF,

.SA4c尸=AC

S&CBFBC-

<-AF-CF4.

又..S1M:F=2_”,

SACBF1BF，CFBF

2

.AC2AF

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,

属于中考常考题型.

20、（1）货车能安全通行，理由见解析；（2）最大安全限高为2.29米

【分析】（1）根据跨度求出点B的坐标，然后设抛物线顶点式形式y=ax2+4,然后把点B的坐标代入求出a的值，即

可得解；

（2）根据车的宽度为2,求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可.

【详解】（1）货车能安全通行.

•••隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O,4）,

:.A、B关于y轴对称，

11

:.OA=OB=—AB=—x8=4,

22

.•.点B的坐标为（4,0）,

设抛物线顶点式形式y=ax2+4,

把点B坐标代入得，16a+4=0,

解得a=--,

4

所以，抛物线解析式为丫=-'*2+4（-4<x<4）；

4

由x=l可得，y=3.75.

V3.75-05=3.25>3.2,

二货车能够安全通行.

(2)当x=2+0.2=U时，y——■-xf—^1+4=2.1.

5-4

V2.79-0.5=2.29,

•••货车能够通行的最大安全限高为2.29米.

答：货车能够通行的最大安全限高为2.29米.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图

象上点的坐标特征，比较简单.

21、（1）见解析；（2）FG=-

3

【分析】（1）由NDME=NA，可证NAFM=NBMG,从而可证;

（2）当a=45°时，可得ACJ_8C且AC=3C=4,再根据可求BG,从而可求CF,CG,进而可求

答案.

【详解】（1）证明：•.•/DME=NA

:.ZAFM=ZDME+ZE=ZA+NE=ZBMG,

又ZA=ZB

：.AAMFS.BGM.

解：(2)Vtz=45°,NDME=ZA=ZB=a

:.AC_LBC且AC=BC=4

•••”为A3的中点，

：•AM=BM=2V2

又,：AAMFSABGM,

.AF_BM

"AM~~BG

AMBM_2V2x2V2_8

BG=

AF--3-3

84

:.CF=AC—AF=4—3=1,CG^BC-BG^4--=-

5

:.FG=y/CF2+CG2=

3

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.

22、(1)(8,0),OE=275;(2)(6,1)；(3)①s=二石/-石，②AP的长为口或」

2519

【分析】(1)令y=0,可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE；

(2)如图，作辅助线，证明△CDNs/XMEN,得CN=MN=1,计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股

〃11

定理得OF的长，由一=-tanNEO/和“=一一m+4,可得结论；

m72

(3)①先设s关于t成一次函数关系，设5=太+1),根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t=2

时，CD=4,DQ3=2,S=2V5.根据Q3(-4,6),Q2(6,D,可得t=4时，s=5«，利用待定系数法可得s关

于t的函数表达式；

②分三种情况：

/八门〃A8BH2/T

(i)当PQ〃OE时，根据cos/Q8"=}7r===£>/5,表示BH的长，根据AB=12,列方程可得t的值；

113

(ii)当PQ〃OF时，根据tanNHPQ=tanNCDN=—,列方程为2t-2=—(7一一t),可得t的值.

442

（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行.

【详解】解：（D令y=0,则一gx+4=0,

工1=8,

.•.3为（8,0）.

•••C为（0,4）,

在RtABOC中，而+42=46

又*：E为BC中效，：.OE=LBC=2逐.

2

（2）如图，作£M_LOC于点则EM〃CD,

：.ACDNS^MEN,

.CNCD、

:.CN=MN=1,

EV=J/+42=而.

•：ENOF=ONEM,

・I"嗡考-

由勾股定理得旅后,

7

:.tan/EOF=—,

6

*n_>1Y7—1

••一八一•

m766

,:n=--m+4,

2

:•m=6,〃=1,

••・&为（6，1）.

图1

(3)①•.•动点P，。同时作匀速直线运动,

；.s关于f成一次函数关系，设5=肘+》,

k=》亚

1=2r=4‘2k+b=2亚

将《「和，厂代入得＜解得《2

4k+b=5也

5=2A/5s=5A/5b=Y

3

**•S=-y/St—y/S.

2

②（i）当PQ〃OE时，（如图），NQPB=NEOB=NOBE,

作轴于点，，则P"=BH='PB.

2

BQ=6也-s=6也-」亚t+也=7石-之后,

一22

又；cosNQBH=W布,

：.BH=T4—3t,

:.PB=2S-6t,

二r+28—6/'=12,

16

(n)当PQ〃OE时(如图)，过点。作QGLAQ于点G,过点P作尸〃，GQ于点，，由AQSQGSACB。得

2G:QG：GQ=1:2:6.

•.3=5=2后-6

Q3G=|l，QG=3f-2,

P//=AG=AC3-e3G=6-1jr-1j=7-1r,

QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2.

VZHPQ=NCDN,

AtanNHPQ=tanNCDN=

〜4

.一30

19

图3

(iii)由图形可知PQ不可能与所平行.

综上所述，当PQ与AOEF的一边平行时，AP的长为号或带.

【点睛】

此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定

义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题.

23、(1)①详见解析；②1；(1)详见解析；(3)80=纹2.

3t

【分析】(1)①根据题意画出图形即可.

②解直角三角形求出PA,再利用全等三角形的性质证明PQ=PA即可.

(1)作PFJL3Q于F,于通过计算证明即可解决问题.

(3)如图3中，作于尸，于设5Z)=x,则CZ)=x-f,AD=yjl+(x-t)2，利用相似三角形

的性质构建方程求解即可解决问题.

【详解】(D解：①补全图形如图所示:

'E

图1

②•••△ABO是等边三角形，AC±BD9AC=1

：.ZADC=60°,ZACD=90°

.4八AC2百

sin6003

VZADP=ZADB=60°,Z/<4D=90°

.,.M=AD»tan600=1

VZADP=ZPDQ=60°,DP=DP.DA=DB=DQ

:APDA9APDQ(SAS)

：.PQ=PA=i.

(1)作尸尸_L8Q于尸，于”，如图：

图2

PALAD,

：.ZPAD=90°

由题意可知NADP=45°

/.ZAPD=90°-45°=45°=ZADP

：.PA=PD

■:ZACB=90°

:.ZACD=90°

7AH±PF,PFLBQ

：.ZAHF=ZHFC=ZACF=90°

•••四边形AC尸”是矩形

：.ZCAH=9()°,AH=CF

'：ZACH=ZDAP=90°

：.ZCAD=ZPAH

又TZACD=ZAHP=90°

.♦.△AC。空△A//P(AAS)

：.AH=AC=1

：.CF=AH=1

4

•:BD=q,BC=1,B,0关于点。对称

14

ACD=BD-BC=~,DQ=BD=-

33

DF=CF-CD=^=^DQ

...下为。。中点

...PF垂直平分DQ

：.PQ=PD.

(3)如图3中，作尸尸_L8Q于RAHLPF^H.设8O=x,则CDx-t,A0=J1+(XT)2

图3

•:PD=PQ,PFA.DQ

DF=FQ=~x

•.•四边形AHFC是矩形

二AH=CF=CD+DF=(x—r)+；x-t

'：^ACB^^PAD

PAAD

...PA=JI+（XT『

1—t

•Jl+（x—t\

••PA=N~——

t

"：/^PAH^/XDAC

.PA_AH

''~AD~~AC

J+（x-）23

•••t=2

J1+（XT）-]

2*+2

:.BD=------.

3t

2产+2

故答案是：（1）①详见解析；②1;（1）详见解析；（3）=

3t

【点睛】

本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判

定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键.

24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tanZACD=2-6.

【分析】（1）根据8M为切线，BC平分NA8M,求得NA5C的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证；

（2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；

（3）由图得到根据各个角之间的关系求出NAFZ）的度数，用也表达出其它边的边长，再代入正切

公式即可求得.

【详解】（1）•.”M是以AB为直径的。。的切线，

AZABA/=90°,

,..SC平分NASM,

:.ZABC=-ZABM=45°

2

•.NB是直径

.•.ZACB=90°，

AZCAB=ZCBA=45°

：.AC=BC

••・△ACB是等腰直角三角形;

(2)如图，连接。O,OC

•:DE=EO,DO=CO

：.ZEDO=ZEOD9ZEDO=ZOCD

:・/EDO=NEDO,NEOD=/OCD

:•△EDOS^ODC

.ODDE

^~DC~~DO

：.01^=DEDC

:.OA2=DEDC=EODC

(3)如图，连接30,AD,DO,作NA4/=NDA4,交BD于息F,

♦：DO=BO

:・/ODB=NOBD,

：.ZAOD=2ZODB=ZEDO,

■:NCAB=NCDB=45°=NEDO+NODB=3/ODB,

：.ZODB=15°=ZOBD

VZBAF=ZDBA=15°

：.AF=BF,ZAFD=30°

••lb是直径

:.N4OB=90°

：.AF=2AD,DF=gAD

：.BD=DF+BF=73AD+2AD

AD1

・・tanNACD=tanNAB£)=----=------1==2-J3r

BD2+V3

【点睛】

本题考查圆的切线、角平分线的性质，相似三角形的性质以及三角函数中正切的计算问题，属综合中档题.

77

25、(1)抛物线的解析式为y=f-2x；顶点8