2025届新高考数学精准突破复习函数与导数的综合应用

函数与导数的综合应用2025届新高考数学精准突破复习考情预览

明确考向(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范围.2.[不等式的证明](2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(1)解:因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f′(x)=aex-1,当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f′(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减.当a>0时,令f′(x)=aex-1=0,解得x=-lna.当x<-lna时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上单调递减;当x>-lna时,f′(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.考法聚焦

讲练突破热点一利用导数研究函数的零点判断函数在某区间[a,b]或(a,b)内的零点的个数时,主要思路:一是由f(a)·f(b)<0及函数零点存在定理,说明在此区间上至少有一个零点;二是求导,判断函数在区间(a,b)上的单调性,若函数在该区间上单调递增或递减,则说明至多只有一个零点;若函数在区间[a,b]或(a,b)上不单调,则要求其最大值或最小值,借用图象法等判断零点个数.典例1

(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f′(x)=ex-1.当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(2)f′(x)=ex-a.当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f′(x)=0可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).利用函数零点情况求参数取值范围的方法(1)分离参数(a=g(x))后,将问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离,次选分类)求解.(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.热点二利用导数证明不等式单变量不等式的证明方法(1)移项法:将证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x).(2)最值法:欲证f(x)<g(x),有时可以证明f(x)max<g(x)min.(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,证明:x1x2<1.证明双变量不等式的三种常见方法(1)消元法:即借助题设条件,建立x1与x2的等量关系,如x2=g(x1),从而将f(x1,x2)>A的双变量不等式化成h(x1)>A的单变量不等式.(3)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数.热点训练2

(2023·四川凉山三模)已知函数f(x)=alnx+x2-1.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a=2,若两个不相等的正数m,n,满足f(m)+f(n)=0,证明:m+n>2.热点三利用导数解决不等式恒成立、存在性问题常见的双变量不等式恒成立问题的类型(1)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max.(2)对于任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.(3)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min.(4)若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max.(5)对于任意的x1∈[a,b],x2∈[m,n],使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min.(6)对于任意的x1∈[a,b],x2∈[m,n],使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>1时,f(x)+k(1+lnx)≤0,求实数k的取值范围.(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.②分离参数法:将参数分离出来,进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式,通过导数的应用求出f(x)的最值,即得参数的取值范围.(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化,要理解清楚两类问题的差别.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;②当1<a<e,x∈[1,a)时,f′(x)≤0,f(x)