平面与平面垂直高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间直线、平面的垂直平面与平面垂直课前复习直线与平面垂直的判定推论判定定理垂直于同一个平面的两条直线平行。如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，此直线垂直于这个平面如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。思考1：观察教室内门与墙面，门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？二面角.二面角的平面角.思考2：平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。1、半平面：2、二面角：半平面半平面棱为l，两个面分别为

、

的二面角记为

-l-

或.或P-l-Q.

l

AB.Q.P⑴平卧式：⑵直立式：AB

ABl

lAB

l3．二面角的画法注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

（3）平面角是直角的二面角叫做

直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。4.二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。=A.O解：∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°.∴二面角

－l－

的大小为60°.

lD例.已知二面角

－

l

－

，A为面

内一点，A到

的距离为2

，到

l的距离为4。求二面角

－

l

－

的大小。作于O，于D，由定理得αβ一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角.就说这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直的定义：abA平面

与

垂直，记作

⊥

.

观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角.思考1.建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。其理论根据是什么？思考2.门不管怎么转动，门与地面仍然垂直吗？平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.αβaA面面垂直线面垂直数学语言：

例：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D’中，求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'.证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,∴AA'⊥平面ABCD,∴AA'⊥BD.又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC'A’∴平面A'BD⊥平面ACC'A'例8：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO

从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角：直二面角两个平面互相垂直判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.αβaA面面垂直线面垂直数学语言：

小结1、平面与平面垂直的定义2、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。数学语言：b两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。提出问题：该命题正确吗？面面垂直线面垂直线面垂直面面垂直Ⅰ.观察实验观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?Ⅱ.概括结论平面与平面垂直的性质定理b两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.该命题正确吗？数学语言：线面垂直面面垂直不正确例题：思路：设bαβal在α内作直线b⊥l例题：解：设bαβal在α内作直线b⊥l∵∴又∴∴例题：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证:BC⊥平面PAB.

1.直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.2.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.αabb如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.拓展:αβγl小结规律小结

一、怎样证线线平行：1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……2.利用公理4:3.利用线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行4.利用面面平行的性质定理：5.利用线面垂直的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两条直线平行二、怎样证线线垂直：1.利用平面几何中的定理:半圆上的圆周角是直角、勾股定理的逆定理等.2.利用平移：3.利用线面垂直定义：a⊥b,b