高考数学椭圆专项训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高考数学椭圆专项训练一、单选题1．已知椭圆的右顶点为，上、下顶点分别为，，是的中点．若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．2．已知点为椭圆：的上焦点，过原点的直线与相交于，两点，且轴，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则（

）A． B． C． D．4．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限的一点，且，则（

）A． B． C． D．5．椭圆的两焦点分别为，过点的直线交椭圆于点，若的最大值为3，则当取得最小值时，的面积为（

）A．4 B． C．3 D．26．已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．7．已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（

）A．农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为C．月相外边缘的离心率与无关D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内8．设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，P为它们的一个交点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（

）A． B． C． D．10．已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（

）A．当为上一点时,的面积为9B．当为上一点时,的值可以为C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于D．当点在的外部时,在上必存在点,使得11．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（

）A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积的最大值为三、填空题12．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为.13．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=.

14．如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为

四、解答题15．已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.16．已知椭圆过点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值．17．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程．(2)设为椭圆的左，右顶点，直线过点，且与椭圆交于点．若直线斜率之和为．求直线的方程．18．已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据题意，先求的中点，再由得，从而得到椭圆的方程.【详解】由题可得，，，，，的中点为，，，，，，椭圆的方程为．故选:D．2．A【分析】由椭圆的对称性，不妨设点在第一象限，则由题意可得，再由列方程化简可求出椭圆的离心率.【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在第一象限，因为点为椭圆的上顶点，，所以点的纵坐标为，当时，，，得，所以，因为过原点的直线与相交于，两点，所以，因为，所以，化简得，得，所以，，解得或（舍去），故选：A

3．C【分析】设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由已知离心率的关系得出，然后由椭圆与双曲线的定义把用表示，再由余弦定理求解可得．【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，，，∴，不妨设，由得，，是三角形的内角，所以，故选：C．4．C【分析】由离心率得，根据椭圆定义及余弦定理求得，然后由两点间距离公式和点在椭圆上列方程组求解．【详解】设，则，由，得，由余弦定理得，解得或（舍去），又，在椭圆上，则，由解得，故选：C.

5．C【分析】由题意，求得，再由公式算得通径长度以及当取得最小值时，的面积【详解】由的最大值为3，即右焦点到左顶点的距离，得，即，两边同时平方得，所以，．易知当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，所以.故选：C6．D【分析】依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程．【详解】由题意，设椭圆方程为，左焦点为，则，，因为，所以，故，所以，解得，，又，，解得，，故椭圆方程为.故选：D7．D【分析】利用已知条件求出第天和第天的方程即可判断A，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为，求出的范围即可判断B，求出离心率的表达式判断C，利用离心率的表达式，求出农历初六至初八时的的范围即可判断D.【详解】由方程（，）知：对于A：当时，椭圆方程为，当时，椭圆方程为，化简为，即，所以A错误；对于B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：，，，，，因为，，所以，所以，所以B错误；对于C：月相外边缘的离心率为：，即，所以月相外边缘的离心率与有关，所以C错误；对于D：农历初六至初八，即时，即，此时月相外边缘离心率：，即，因为，，所以，，所以，故D正确.故选：D.8．A【分析】根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】不妨设点是，在第一象限内的交点，则，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，则，所以，故,故选：A9．AC【分析】根据题意可知M的轨迹为：，即与其有公共点的曲线都是“好曲线”，依次判断各选项，即可得到结论.【详解】由题意知：M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知，M的轨迹以为焦点的双曲线且，所以，方程为：，∴“好曲线”一定与有公共点，对于A，直线过点，符合题意，故A正确；对于B，方程代入，可得，其中，方程无解，不符合题意，故B错误；对于C，椭圆的右顶点为，符合题意，故C正确；对于D，圆的圆心为，半径，与双曲线没有公共点，不符合题意，故D错误；故选：AC10．ACD【分析】设,根据椭圆定义得,根据得,两式联立可得,根据直角三角形的面积公式即可得选项A的正误;将以上结论代入中可求得与矛盾,由于,所以点在以为直径的圆上,半径为,若点均在内部,只需,解出离心率范围即可,若点在外部,只需,此时该圆与椭圆一定有交点,在交点处满足,可得选项D正误.【详解】解:由题知,所以,因为为上一点,且,所以为直角三角形,设,在中,由勾股定理可得①,由椭圆定义可知:②,②式的平方减①式可得:,所以,故选项A正确;若,因为,所以,解得(舍),故不存在,即选项B错误;因为,则点在以为直径的圆上,所以该圆的圆心为原点,半径为,若均在内部时,则只需即可,即,即,化简可得,解得,故选项C正确;由于点在以为直径的圆上,且半径,当在的外部时有,所以该圆与椭圆一定有交点,记交点为,则该点既在圆上又在椭圆上,所以有成立,故选项D正确.故选:ACD11．ACD【分析】根据题意，根据椭圆离心率公式即可判断A；联立直线与椭圆方程结合韦达定理即可得到椭圆方程，从而判断BC；根据三角形面积公式即可判断D.【详解】椭圆C的离心率为，设两条互相垂直的切线的交点为，当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是，（，且），所以可设曲线C的过点P的切线方程是.由，得，由其判别式的值为0，得，因为，（，为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以，由此，得，即的蒙日圆方程为：；因为蒙日圆为长方形的外接圆，设，，则矩形面积公式为，显然，即矩形四条边都相等，为正方形时，.故选:ACD.12．/【分析】最大当且仅当最大，即最小，再利用余弦定理结合椭圆的定义求解作答.【详解】因为为的内切圆圆心，则，显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大，又，即有最小，在椭圆中，，在中，，当且仅当时取等号，因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正余弦定理，椭圆定义．13．【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得，，则直线，即，设，则，所以点到直线的距离为，解得，所以，即，直线，即，所以点到直线的距离为，解得或，因为，所以，即直线，令得，即，所以，即，联立与，解得，故椭圆离心率为.故答案为：14．【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接，如图所示

设则，由椭圆的定义得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）根据长轴长与椭圆的离心率求得，进而得到椭圆标准方程；（2）设与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.【详解】（1）由题意，，即，又，所以，故，故所求椭圆的标准方程为.（2）如图，由题意知：直线的斜率存在且不为零，设，，，，中点，联立，消去并整理得：，恒成立，则，，，，则方程为：，即，化简得：设直线在轴上截距为，令得，由可知，所以直线在轴上的截距的取值范围为.16．(1)(2)1【分析】（1）根据，把点代入，即可求出椭圆方程．（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，，计算直线的斜率与直线的斜率的和，即可根据对称求解.【详解】（1）由于，设所求椭圆方程为，把点代入，得，，椭圆方程为．（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，设，，，，所以,直线直线斜率为，直线直线斜率为，则所以，，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数，故直线与直线关于对称，因此．故【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.17．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由椭圆的离心率以及点的坐标列出方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线得方程为，联立与椭圆的方程，可得，再由可得，从而可得直线的方程，再联立与椭圆的方程，即可得到结果.【详解】（1）因为椭圆离心率为，所以，即，所以椭圆方程为．因为椭圆过点，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）由题设，直线不过点，所以设直线得方程为．由得，所以，，．因为，所以，所以①．由题设，②．因为，所以③．①②③得，，所以直线的方程为．由，消去可得，则，其中，则，所以，所以所以，即，所以直线的方程为．18．(1)(2)存在，坐标为【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．【详解】（1）依题意得解得，椭圆的标准方程为.（2）存在点，使，点的坐标为.理由如下：直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方.直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.联立方程消去可得：.此时，设，则.，.存在点满足条件.点坐标为.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点