【数学】正态分布课时过关练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

答案第=page1212页，共=sectionpages1515页答案第=page1111页，共=sectionpages1515页7.5正态分布课时过关练一、单选题1．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（

）A． B．C． D．2．若随机变量，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.83．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（

）A．350 B．400 C．450 D．5004．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．5．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X～N（200，182），则取得的这件材料的强度介于182到236之间的概率为（

）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974）．A．0.9973 B．0.8665 C．0.8413 D．0.81856．随机变量服从正态分布.若，则（

）A． B． C． D．7．随机变量服从正态分布，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（

）附：A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题9．设随机变量，其中，下列说法正确的是（

）A．变量的方差为1，均值为0 B．C．函数在上是单调增函数 D．10．下列命题正确的是（

）A．对于事件，，若，则B．设随机事件和，已知，，，则C．已知，若，则D．若，随机变量，则11．已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（

）（若随机变量服从正态分布，则，A． B．C． D．三、填空题12．随机变量服从正态分布，若，则.13．已知随机变量，且，则，则二项式展开式中含的项为14．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为；（若，则）四、解答题15．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．

(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．16．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门．(1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．附：．17．某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).附参考数据与公式：则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.18．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270，).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.（i）求出f(p)的最大值点;（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.参考数据:ζ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.参考答案：1．B【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果.【详解】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.故选：B．2．A【分析】根据正态分布函数图象的对称性求解即可.【详解】因为，故．故选：A．3．B【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩不低于120分的概率，再进行估计得解.【详解】依题意，，而服从正态分布，因此，所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B4．D【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解.【详解】由以及可得，由于，故，，故选：D5．D【分析】根据正态分布对称性的性质，即可求出答案.【详解】因为取得的这件材料的强度X～N（200，182），所以μ＝200，σ＝18，则P（182＜X＜218）＝0.6826，P（164＜X＜236）＝0.9544，，所以P（182＜X＜236）＝0.9544﹣0.1359＝0.8185．故选：D．6．B【分析】根据条件，利用对称性得到，，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，故选：B.7．D【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，则，，，且，，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：D.8．A【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，，设第次抽到优等果的概率（），恰好抽取次的概率，所以，设，则，两式相减得：，所以，由，即，又所以的最大值为．故选：A．【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可.9．ACD【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D.【详解】随机变量，则A正确；，则B错误；随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于对称，，则D正确，故选：ACD．10．BD【分析】根据事件的关系判断A，根据条件概率及全概率公式判断B，根据正态分布的性质判断C，根据二项分布的期望公式及期望的性质判断D.【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，，所以，则，又，解得，故B正确；对于C：因为，，则，则，所以，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以，故D正确.故选：BD11．ABC【分析】根据正态分布的意义及法则可得结果【详解】由随机变量得：正态分布曲线关于直线对称，且，,所以，，，故ABC正确，D错误.故选：ABC.12．/【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为且，所以，则.故答案为：13．【分析】先可以根据正态分布的对称性以及得出，然后写出展开式的通项，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得展开式中含的项.【详解】因为随机变量，且，所以，则，其展开式，令，解得，故二项式展开式中含的项为.故答案为：14．0.1/【分析】依题意得，则，由，得，即可求解.【详解】若，则）因为工业生产中轴承的直径服从，所以，则，由，得，则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.故答案为：15．(1)，.(2)34.14%【分析】（1）结合密度曲线可得，可写出密度函数的表达式；（2）由，求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．【详解】（1）设公司人均月收入为，结合题图可知，.此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为:，.（2），则，所以.故公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比为34.14%.16．(1)；(2)①3274人；②不可信.【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；（2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断.【详解】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种，在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，则有种，共种；若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．（2）①设此次网络测试的成绩记为，则．由题知，则，所以．所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．②不可信．，则，4000名学生中成绩大于410分的约有人，这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．17．(1)84.80分，中位数84.67分；(2)分布列见解析，1；(3)11家【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解；（2）利用频率分布直方图的性质及根据已知条件求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量相应取值的概率，进而得出随机变量的分布列，利用期望公式即可求解；（3）根据已知条件及正态分布的性质即可求解.【详解】（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：由频率分布直方图得内，解得中位数(分).（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有家，其中考核成绩在内的企业有家，由题意可知，的可能取值为，,,,∴.（3）由题意得,,∴(家)，∴估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.18．（1）136；（2）（i）；（ii）分布列见解析.【分析】（1）由正态分布原则即可求出排球个数；（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值