【数学】超几何分布2023-2024学年高二数学知识点总结与题型讲评课件

超几何分布知识点1：超几何布知识点2：二项布与超几何布的区别和联系知识点3：超几何布的证明知识点1：超几何布知识点2：二项布与超几何布的区别和联系知识点3：超几何布的证明知识点1：超几何布

X01P

知识点2：二项布与超几何布的区别和联系

知识点3：超几何布的证明

题型一：超几何分布的概念例题1：下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(

)A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数√√√【分析】根据超几何分布、二项分布的概念，逐项判定，即可求解.

例题2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：这四种变量中服从超几何分布的是(

)①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③X表示取出的白球个数；④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.A.①②

B.③④

C.①②④

D.①②③④√【分析】根据超几何分布的定义，判断四个选项，即可得到答案.

√

A.没有白球

B.至少有一个白球C.至少有一个红球

D.至多有一个白球

√

例题5：今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(

)

【分析】事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率.√

√√

√√

题型二：超几何分布的性质

【分析】根据超几何分布的计算公式计算即可.

√例题2：在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为____.

【分析】利用超几何分布求解即可.

【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从10件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.

√

【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.

√

【分析】根据超几何分布的定义计算即可.

√例题6：莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是______.

【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率

例题7：下列说法正确的是(

)

【分析】根据分布列的性质即可判断①，利用正态分布密度曲线判断②，根据二项分布的期望公式判断③，利用超几何分布判断④.√

例题8：从一箱脐橙(共10个，其中7个是大果，3个是中果)中任选3个，则恰有2个中果的概率为_________.

【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.

例题9：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是___.

【分析】利用古典概型与对立事件的概率公式，结合超几何分布即可得解.

例题10：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：

(2)X的期望与方差.

012

例题11：某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教.(1)设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差；

0123P

(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.

√√

题型三：超几何分布的分布列例题1：某校高中数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动.(1)求选出的2人中，恰有1名男生的概率；

【分析】根据古典概型的概率公式结合组合知识和分步乘法原理，即可求解.

【答案】分布列见解析

012例题2：为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

【分析】根据条件概率公式即可求解.

012

(1)现有一盒电子笔，抽出两支来检测.①求抽出的两支均是正品的概率；②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率.

【分析】①根据全概率公式直接求解即可；②根据贝叶斯公式直接求解即可；

012

例题4：某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏.(1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？【答案】2,2,3；【分析】根据分层抽样的性质运算可得.

0123P

(1)若一次抽出3人，求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；

【分析】根据分类加法原理及组合数知识求出女技术员人数，然后根据条件概率的计算可得答案；(2)若一次抽取6人，记X表示6人中女技术员的人数，求X的分布列和数学期望.

2345

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

01234题型四：超几何分布的最值问题

题型五：超几何分布在摸球中的应用例题1：一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个.(1)若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；

【分析】根据条件概率的计算公式可求得答案；

【答案】分布列见解析

0123例题2：一个不透明的袋中有2个白球和5个红球，这些球除颜色外完全相同，若不放回的从袋中随机一次性抽取3个球，记其中白球的个数为X，求X的分布列与数学期望值.

【分析】首先分析出此分布符合超几何分布，再写出分布列，最后利用期望公式计算即可.

012P

例题3：一袋子中装有大小和形状都相同的2个白球，2个红球和2个黑球，现从袋中一次性取出3个球.(1)求取出的白球个数多于黑球的概率；

【分析】分为两种情况：“恰好取出1个白球和2个红球”，“恰好取出2个白球”，利用互斥事件的概率公式求解；

【答案】分布列见解析，1

012

例题4：甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球(球除颜色外，大小质地均相同).

【分析】利用超几何分布模型求解；

0123

例题5：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球.(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列；答案见解析；【分析】由题意分析出X的可能取值，分别求概率，写出分布列；

012P(2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率.

例题6：盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球.(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；

【分析】根据全概率公式即可求解，

012

例题6：在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回.

①求红球的个数;

【答案】①红球的个数为3;②分布列见解析;数学期望为1

012

【答案】最小值为8

例题7：盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的.第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球).第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【分析】利用条件概率公式及全概率公式求解.

例题8：一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球.从这10个球中任取3个.

【分析】由超几何分布概率公式求解

0123

0123

题型六：超几何分布在生产中的应用例题1：某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X表示样本中合格品的件数.(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；【答案】分布列见解析，12

0123P

01234567890.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.53590.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.57530.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.61410.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.65170.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.68790.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224【答案】0.9970

例题2：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；【答案】0.7599；【分析】由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出4件进行检验至少有1件是合格的概率；

(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率.答案见详解.

题型七：超几何分布在农业中的应用例题1：随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级特等一等二等三等等外个数102050128(1)若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；

0123

012

题型八：超几何分布在比赛中的应用例题1：某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法(按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样)从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛.(1)求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数；【答案】2人，1人【分析】根据分层抽样的定义按照比例抽取即可.

(2)求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率；

0123P

例题2：已知盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的.

第一次比赛时，从中一次性任意取出3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球)；第二次比赛时从中任意取出1个.

0123

(2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率.

例题3：某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛，竞赛以抽盲盒答题的形式进行，现有甲、乙两个盲盒箱，甲中有4个选择题和2个填空题，乙中有3个选择题和3个填空题，竞赛可以以不同的方式进行.

【分析】先计算A班参加竞赛的5个人中每个人得分的平均分，在根据数学期望的意义求出A班得分的数学期望；

(2)若已知A班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B班班长再从乙箱中抽取一道题目，已知B班班长从乙箱中抽取的是选择题，求A班班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

【点睛】【点睛】例题4：为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛.为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准.(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；

【分析】考虑教师甲获得优秀奖的三种情况，分别计算概率相加得到答案.

【答案】教师甲不能进入复赛

例题5：第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技和霹雳舞两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表省代表队电子竞技45512738571926473429霹雳舞26154442322856364820(1)从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过30人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过30人的概率；

【分析】根据表格中的数据，利用事件的意义，结合条件概率，即可求解；

(2)若霹雳舞参与人数超过40人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这10支代表队中随机抽取4支，记X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求X的分布列和数学期望；

01234

【答案】至少要进行11轮测试

(1)求抽奖者获奖的概率；

(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.答案见解析

0123P

(1)求乙闯关成功的概率；

【分析】根据独立重复事件的概率公式即可求解，

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

0123P

例题8：某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；

【分析】利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.【答案】分布列见解析

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(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大；【答案】甲通过初试的可能性更大【分析】根据超几何概型分别求出甲、乙两人谁通过初试的概率即可得出结论.

(2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙的得分为Y，求Y的分布列和数学期望.【答案】分布列见解析，15

Y05101520P

例题9：2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

0123

【答案】27轮

题型九：超几何分布在商业中的应用

【分析】由题意Y的可能取值为0，1，2，3.利用超几何分布求出对应的概率，进而可得分布列，结合数学期望公式计算即可求解；

Y0123P

答案见解析

例题2：2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数(假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票)以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数(每个消费者可用多个平台购买电影票)，得到如下表格：ABCDEFGH购买春节档电影票的人数4030303030201010曾经购买过电影票的人数9288808070622515(1)把样本消费者中曾经在每个平台上购买电影票的频率作为线上消费者在相应平台上购买电影票的概率，从所有线上消费者中随机抽取4人，求恰有2人在C平台上购买电影票的概率.

0123P

例题3：新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市