河南省许昌市斌英中学高三数学理联考试题含解析

河南省许昌市斌英中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】E7：循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S

k

是否继续循环循环前

100

0/第一圈100﹣20

1

是第二圈100﹣20﹣21

2

是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0

6

是则输出的结果为7．故选D．2.已知平面,则下列命题中正确的是 （）A．

B．C．

D．

参考答案：D3.若函数为奇函数，则f（g（2））＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2参考答案：D分析：利用奇偶性，先求出，再求出的值即可.详解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x），故x＞0时，f（x）=2﹣2x，由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2，故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2，故选：D．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．4.已知集合的值为

（

）

A．1或－1或0

B．－1C．1或－1

D．0参考答案：A因为,即m=0,或者,得到m的值为1或－1或0，选A

5.设的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．解：∵，∴，∴∴∴故选B．【点评】：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．7.在下面四个图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)等于()A. B.－C. D.－或参考答案：Bf′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象开口向上，故图形不是(2)，(3)；由于a≠0，故图形不是(1)，∴f′(x)的图象为(4)，∴f′(0)＝0，∴a＝1或－1，由图知a≠1，∴a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－，故选B.8.某市的一次食品安全检查中，采用分层抽样的方法对在本市注册的4家大型食品加工企业，20家中型食品加工企业和x家小型食品加工企业生产的产品进行检查．结果共检查了包括5家中型企业在内的40家食品加工企业生产的产品，则该市注册的小型食品加工企业有（

）A．160家

B．136家

C．116家

D．16家参考答案：B略9.等比数列{an}中，a3=6，前三项和S3=18，则公比q的值为A．1

B．－

C．1或－

D．－1或－参考答案：C10.“”是“”的A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C． 充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则

。参考答案：把曲线（为参数）化为直角坐标方程为，把直线的极坐标方程为转互为直角坐标表方程为，圆心到直线的距离为，所以。12.函数对满足条件，如果，那么=

参考答案：略13.（几何证明选讲选做题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

．参考答案：14.已知随机变量X的分布列如下表所示，X的期望EX=1.5，则DX的值等于

。X0123P0．1ab0.2

参考答案：0.8515.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是

（结果用分数表示）．参考答案：16.对实数a、b定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

．参考答案：由可得：，则：.据此有：.当时，x-x2=-2,当时，.函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点.如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.据此可得：实数的取值范围是

17.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺．以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第天，蒲草和菀草高度相同．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）参考答案：2.6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可利用等比数列的求和公式可得：=，化为：2n+=7，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线，点A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1与曲线C2的极坐标方程；(2)射线与曲线C1、C2相交于P、Q两点，已知定点M（–2，0），求的面积．参考答案：（1），；（2）【分析】（1）根据转化公式，，，代入求的极坐标方程，再用代入法求曲线的极坐标方程；（2）分别和曲线联立方程求点，的坐标，并根据几何关系求点到直线的距离，最后代入面积公式.【详解】（1）曲线，化简则有：.将代入可得曲线.设，则,由点在曲线上，则.所以曲线的极坐标方程为.（2）点到射线的距离.射线与曲线的交点的坐标为，射线与曲线的交点的坐标为，所以,故.【点睛】本题考查直角坐标和极坐标方程的转化，重点考查了极角和极径的几何意义，属于基础题型，注意当过极点的直线与曲线相交时，.19.（2015?陕西校级模拟）直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）变形曲线C的参数方程可得，由同角三角函数基本关系消参数可得；（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程，由韦达定理和t1=﹣2t2可得斜率k的方程，解方程可得．【解答】解：（1）变形曲线C的参数方程可得，∵cos2θ+sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为+=1；（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0由韦达定理可得t1+t2=，t1t2=由题意可知t1=﹣2t2，代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0，即12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=【点评】本题考查参数方程和普通方程的关系，涉及三角函数的韦达定理，属中档题．20.已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数． （Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值； （Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值； （Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可； （Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论． 【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=， ∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2， ∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分） 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增． ∴g（x）最小值为g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分） （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分） 当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分） 当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分） 当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0， ∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分） 综上，a≥e﹣1…（12分） 【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力． 21.十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数610121255赞成人数3610643（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）由调查表能求出红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值．（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（1）解：赞成率为，被调查