四川省绵阳市江油长城实验中学高三数学理模拟试题含解析

四川省绵阳市江油长城实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，那么等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D由，得，即，解得，所以，选D.2.点P是曲线上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为A.1

B．

C．

D．参考答案：D3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=3，故体积V==6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．4.已知函数，则下列命题错误的是（

）A．函数是奇函数，且在上是减函数B．函数是奇函数，且在上是增函数C．函数是偶函数，且在上是减函数D．函数是偶函数，且在上是增函数参考答案：A5.已知递增数列对任意均满足，记，则数列的前项和等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D法一：,讨论：若，不合；若；若，不合；即，，所以，所以，，，，猜测，所以数列的前项和等于．故答案选D．法二：，结合数列的单调性分析得，，而，同时，故，又，数列为等比数列，即其前项和等于．故答案选D．6.设i为虚数单位，则的展开式中的第三项为（

）A．4i

B．－4i

C．6

D．－6参考答案：答案：D7.半径为4的球面上有、、、四点，且、、两两垂直，则，的面积之和的最大值为（

）A．8

B．12

C．16

D．32参考答案：D略8.向量，=（x,y）若与-的夹角等于，则的最大值为(

)

A．2

B．

C．4

D．

参考答案：C由题意可知不共线

且，则有，即，即，则判别式，即，所以，即，所以的最大值为4，选C.9.．已知函数的部分图像如图所示，则的值分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知，则tanα=（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得tan2α的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知，即sin（﹣α）?cos（﹣α）=﹣，即sin（﹣2α）=﹣，即?cos2α=﹣，∴cos2α=﹣==，∴tan2α=4．再结合tanα＞0，可得tanα=2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．参考答案：－3600由题意可知，⊥，⊥，，所以＝12.

(－)6的展开式中的常数项是

(用数字作答).参考答案：6013.若复数，则复数的模是

．参考答案：214.已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则关于有下列命题，①函数是奇函数；②函数不是周期函数；③函数的图像关于点中心对称；④函数的最大值为.其中真命题是_________.

参考答案：③15.已知函数的部分图象如图所示，

．参考答案：216.已知，则cos（30°﹣2α）的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．17.已知向量满足=

参考答案：；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题．（Ⅰ）+++abc≥2；（Ⅱ）++≥．参考答案：【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用三项的均值不等式可得结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得，即所以，而，所以．…（Ⅱ）．…19.如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD?AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．20.（本题满分12分）已知（1）求的值；（2）若，求的值.参考答案：21.已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）①设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直；②证明kPM?kAB=﹣1，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．

…设圆C的圆心为C（a，b），又因为圆C与圆D关于直线4x+2y﹣5=0对称，即圆心D（2，1）与（a，b）关于直线4x+2y﹣5=0对称．∴，…∴．

∴圆C的方程为x2+y2=2．…（Ⅱ）①因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．

…②直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）?（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…

，…又