内蒙古自治区赤峰市天山第三中学高三数学文下学期摸底试题含解析

内蒙古自治区赤峰市天山第三中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角α的终边上有一点P(1,3)，则

的值为（

）A、?

B、?

C、?

D、?4参考答案：A试题分析：，又因为角终边上有一点，所以，所以原式，故选A.考点：1.三角函数定义；2.诱导公式；3.同角三角函数关系.2.已知向量，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向参考答案：A3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．

B．

C．3

D．6参考答案：B4.当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．D．参考答案：D5.若运行如图所示的程序，则输出S的值是（）A．B．C．D．参考答案：C略6.（09年湖北重点中学4月月考理）已知，设集合，则A的子集个数共有（

）A、0个

B、1个

C、2个

D、无数个参考答案：B7.若，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略8.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略9.某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据图象的对称关系和条件可知C（6）=0，C（12）=10，再根据气温变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于10，使用排除法得出答案．【解答】解：∵气温图象在前6个月的图象关于点（3，0）对称，∴C（6）=0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；∵该年的平均气温为10℃，∴t=12时，C（12）=10，排除B；故选A．【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题．10.已知，则（

）A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；

参考答案：B略12.如图所示：以直角三角形ABC的直角边AC为直径作，交斜边AB于点D，过点D作的切线，交BC边于点E．则=________________.参考答案：13.已知，若，则__________.参考答案：或14.若变量x，y满足约束条件则的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率的一半求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．由=，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（，0）连线的斜率．且，∴的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题．15.=___________．参考答案：略16.若向量，满足，，且，的夹角为，则．参考答案：17.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为

．参考答案：27考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．解答： 解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=﹣．（Ⅰ）若∠BAC=，求AC的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）若∠BAC=，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠ABC的值，△ABC中，再利用正弦定理求得AC的长．（Ⅱ）若BD=9，由条件求得sin∠BCD的值．在△BCD中，根据cos∠BCD=利用余弦定理求得CD的值，从而求得S△BCD=?6?9?sin∠BCD的值．【解答】解：（Ⅰ）因为cos∠ABC=﹣，∴∠ABC为钝角，sin∠ABC==，在△ABC中，，即=，解得AC=8．（Ⅱ）因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=π，故cos∠BCD=﹣cos∠ABC=，sin∠BCD=sin∠ABC=．在△BCD中，cos∠BCD==，整理得CD2﹣4CD﹣45=0，解得CD=9，所以，S△BCD=?6?9?sin∠BCD==18．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．19.已知△ABC的面积S满足（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值。参考答案：（1）

（2）20.已知函数（，e为自然对数的底数，）.（1）若函数仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，有两个零点（）.且满足.参考答案：解：（1），由，得或因为仅有一个极值点，所以关于的方程必无解，①当时，无解，符合题意；②当时，由，得，故由，得.故当时，若，则，此时为减函数，若，则，此时为增函数，所以为的唯一极值点，综上，可得实数的取值范围是.（2）由（1），知当时，为的唯一极值点，且是极小值点，又因为当时，，，，所以当时，有一个零点，当时，有另一个零点，即，且，.①所以.下面再证明，即证.由，得，因为当时，为减函数，故只需证明，也就是证明，因为，由①式，可得.令，则.令，因为为区间上的减函数，且，所以，即在区间上恒成立，所以在区间上是减函数，即，所以，即证明成立，综上所述，.21.（本题满分13分）等差数列中,,公差,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列的第2项,第3项,第4项.(Ⅰ)求数列与的通项公式;(Ⅱ)设数列对任意自然数均有成立,求的值.参考答案：(Ⅰ)由题意得：（１+d）(1+13d)=,d>0…1分解得：d=2……………3分所以……………………4分……………………6分(Ⅱ)当n=1时，当，得…………………9分………………10分………………13分22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．参考答案：（1）C1:x－y－a＋1＝0，C2:y2＝4x；（2）或【分析】(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入