湖南省张家界市人潮溪中学高三数学文联考试题含解析

湖南省张家界市人潮溪中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在圆内，过点n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差的取值集合为A. B.C. D.参考答案：D2.若函数f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，e） B．（﹣，0] C．（e，+∞） D．（﹣，e]参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）ex=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）ex，利用导数求出函数g（x）单调性，结合图象即可求解．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）ex=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）ex，∴g′（x）=ex（x2+x﹣）=0，∴x=1或x=﹣，∴当x∈（﹣∞，﹣）时，g（x）单调递增，当x∈（﹣，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；

∴x=﹣时，g（x）max=g（﹣）=e，x=1时，g（x）min=g（1）=﹣e﹣1，结合图象可得m∈（0，e），故选：A【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，属于中档题，3.已知双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点.若点P是线段的中点，且,则此双曲线的渐近线方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(

)．

(A)

(B)4

(C)

3

(D)5参考答案：A6.若函数=

A．0

B．1

C．2

D．参考答案：C，所以．7.已知点A是抛物线y=x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．+1 D．+1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则sinα=m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PB|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选C．8.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A．10π B．11π C．12π D．13π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．故选C．9.在△ABC中，，则（

）A.9:7:8 B. C.6:8:7 D.参考答案：B【分析】设求出，再利用正弦定理求解.【详解】设所以，所以，所以，得所以故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在菱形ABCD中，M为AC与BD的交点，∠BAD=，AB=3，将△CBD沿BD折起到△C1BD的位置，若点A，B，D，C1都在球O的球面上，且球O的表面积为16π，则直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出球半径为，根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角，解三角形即可．【解答】解：如图所示，设O为球心，E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心，则有OE⊥面ABD，OF⊥面C1BD，∵菱形ABCD中，∠BAD=，AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△，故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心．∵球O的表面积为16π，∴球半径为2．在直角△AOM中，OA=2，AE=，?QE=1．tan∠OME=，∵C1M⊥DB，AM⊥DB，∴DB⊥面AMC1，∴∠C1MA（或其补角）就是直线C1M与平面ABD所成角．∠C1MA=2∠OME，tan∠C1MA=tan（2∠OME）=，sin∠C1MA=，直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系，找出线面角是解题关键．属于中档题．12.不等式的解集为

.参考答案：得，即，所以不等式的解集为。13.（5分）（2014?陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．参考答案：1【考点】：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．【点评】：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则

．参考答案：15.函数在x=

处取得极小值.参考答案：2略16.已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为

．参考答案：3【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3，∴a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．17.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是______(填序号)．

参考答案：①

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数．设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）假设当日园区游客总人数达到或超过万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天点（即）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．参考答案：（1）当天点至点这一小时内进入园区人数为（人）

…3分离开园区的人数（人）

………………6分（2）当天下午点（）时进入园区人数为（人）

………10分此时，离开园区的人数人………12分此时，园区共有游客为（人）

………13分因为，所以当天不会采取限流措施．

………14分

19.已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，从而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆C方程为+y2=1．（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，切点的纵坐标y0=kx0+t=，所以=﹣，所以k=﹣，所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）=﹣（x﹣x0），化简得：+=1．当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，PA，PB是椭圆+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，过点B的椭圆的切线为+y2y=1．由两切线都过P点，+y1yP=1，+y2yP=1即有切点弦AB所在直线方程为+yyP=1．M（0，），N（，0），|MN|2=+=（+）?=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=即xP2=，yP2=时取等，则|MN|，即|MN|的最小值为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，以及基本不等式的运用，属于中档题．21.已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线：的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求当Δ面积最大时，

直线的方程.参考答案：解：（1）

（2），， ，当时有最大值.

所以直线的方程为：.略22.某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（1）完成