湖南省衡阳市 衡山县师古中学高一数学理下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市衡山县师古中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）= B．f（x）=（x﹣1）2 C．f（x）=ex D．f（x）=ln（x+1）参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．【解答】解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选A．2.函数的单调递减区间是(

)A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C． D．参考答案：D【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先确定函数的定义域，再考虑二次函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x+3，则由﹣x2+2x+3≥0可得﹣1≤x≤3∵﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴当1≤x≤3时，函数单调递减∵在定义域内为增函数∴函数的单调递减区间是．故选D．【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的定义域，确定二次函数的单调性，属于中档题．3.定义在R上的函数满足单调递增，如果的值（

）A．恒小于0

B．恒大于零

C．可能为零

D．非负数参考答案：A4.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的定义域为[a－1,2a]的偶函数，则a＋b的值是()A．0

B. C．1 D．－1参考答案：B略5.已知等差数列的前项和为且满足

（

）

A.是常数

B.是常数

C.是常数

D.是常数参考答案：D略6.设M=++…++，则M的值为（）A．B．C．D．参考答案：B考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由于=﹣，累加求和即可求得答案．解答：解：∵M=++…++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+…+﹣=1﹣=．故选B．点评：本题考查数列的裂项法求和，每一项裂为相邻两项之差是关键，属于中档题．7.已知直线和直线，它们的交点坐标是（

）ks5uA．（0，1）

B．（1，0）

C．（-1，0）

D．（-2，-1）参考答案：C略8.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，若对于任意的

（A）是奇函数

（B）是偶函数

（C）既是奇函数又是偶函数

（D）既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A9.函数的单调递增区间为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设集合，集合，则（

）． A． B． C． D．参考答案：B集合，，∴．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=

.参考答案：912.在[0,1]上任取两数和组成有序数对，记事件为“”，则

．参考答案：13.设是定义在上的奇函数，若在上是减函数，且是函数的一个零点，则满足的的取值范围是__________．参考答案：∵时，时成立，又∵在上是减函数，，∴，又∵时，，在上单调减，∴．综上所述．14.在正方体中，平面与平面的位置关系为

▲

.参考答案：垂直15.已知点P1（x1，2015）和P2（x2，2015）在二次函数f（x）=ax2+bx+24的图象上，则f（x1+x2）的值为

．参考答案：24【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先把P1点与P2点坐标代入二次函数解析式得ax12+bx1+24=2015，ax22+bx2+24=2015，两式相减得到a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2）=0，而x1≠x2，所以a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，然后把x=﹣代入f（x）=ax2+bx+24进行计算即可【解答】解：∵P1（x1，2015）和P2（x2，2015）是二次函数f（x）=ax2+bx+24（a≠0）的图象上两点，∴ax12+bx1+24=2015，ax22+bx2+24=2015，∴a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2）=0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，把x=﹣代入f（x）=ax2+bx+24（a≠0）得f（x）=a×（﹣）2+b×（﹣）+24=24．故答案为：24．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象上点的坐标满足其解析式．16.已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

参考答案：20略17.已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式an＝________．参考答案：当时，,当时，,且当时，，据此可得：数列{an}的通项公式an＝

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－4＝0互相垂直，求点P(2，-5)到直线2x＋my－4＝0的距离.参考答案：19.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为.(1）求的最大值；（2）求的最小值.参考答案：解：区域D如右图所示，（2分）(1)，，这是一族斜率为，截距为z的平行直线。由图可知，当直线经过可行域上的点B时，截距最大，此时，故z的最大值为4.（7分）（2）表示M(x,y)与P两点所确定直线的斜率，由图可知，当点M为（0,2）时，斜率最小，此时，故w的最小值为.（12分）

略20.（14分）当x≥0，函数f（x）=ax2+2，经过（2，6），当x＜0时f（x）=ax+b，且过（﹣2，﹣2），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（5）；（3）作出f（x）的图象，标出零点．参考答案：考点： 函数图象的作法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： （1）由题意，f（2）=4a+2=6，从而求a，再代入（﹣2，﹣2）求b；从而写出解析式f（x）=；（2）将5代入第一个式子得f（5）=27；（3）作出f（x）的图象，从而写出零点．解答： 解：（1）由题意，f（2）=4a+2=6，故a=1；则f（x）=x2+2，x≥0；则当x＜0时，f（﹣2）=﹣2+b=﹣2；故b=0；则f（x）=；（2）f（5）=27；（3）作出f（x）的图象如右图，

没有零点．点评： 本题考查了函数的性质与图象的应用，属于基础题．21.若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y），（1）求f（1）的值；（2）证明f（x2）=2f（x）（x＞0）；（3）若f（4）=1，解关于x不等式f（x2+x）﹣f（）＜2．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；（2）令y=，得到f（x2）=f（x）﹣f（），而f（）=f（1）﹣f（x）=﹣f（x），问题得以证明．（3）令x=16，y=4，求出f（16）=2，根据函数的单调性得到不等式组，解得即可．【解答】解：（1）令x=y=1，由f（）=f（x）﹣f（y），可得f（1）=f（1）﹣f（1），即有f（1）=0；（2）令y=，∴f（x2）=f（x）﹣f（）=f（x）﹣[f（1）﹣f（x）]=f（x）+f（x）=2f（x），∴f（x2）=2f（x）（x＞0）；（3）令x=16，y=4，∴f（4）=f（16）﹣f（4），∴f（16）=2f（4）=2，∵f（x2+x）﹣f（）＜2，∴f（3x2+8x）＜f（16），∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴，解得：﹣4＜x＜﹣，或0＜x＜，∴不等式得解集（﹣4，﹣）∪（0，）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．结合函数的单调性是解决本题的关键．22.某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图如图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．甲班茎乙班123

6

8130

37

4

31414

4

215X

89

87

0

161

3

8175

6

6183

(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值；(2)成绩在175分以上(含175分)为“优秀”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．参考答案：（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为(154+160)＝157.........2分

乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；..............4分

（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．

设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．

则从5人中选出3人的所有方法种数为