湖南省株洲市五里墩中学高三数学理测试题含解析

湖南省株洲市五里墩中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的值域是 （）A．[-1,1] B．C． D．参考答案：B2.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（

）A.

1

B.

4

C.

36

D.

49参考答案：A略3.在等差数列=

A．24

B．22

C．20

D．－8参考答案：A4.函数的图象大致是参考答案：B5.右面是“二分法”求方程在区间上的近似解的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（）

A．；是；否

B．；是；否C．；是；否

D．；否；是参考答案：C略6.设双曲线(a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为

A．

B． C．

D．参考答案：A7.已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，则A.4

B.

10

C.

16

D.

32

参考答案：C由得，解得，从而. 故选C.8.设是等差数列的前n项和，已知则等于（

）

A．13

B．35

C．49

D．63参考答案：C因为数列是等差数列，所以，所以选C.9.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D在△OAC中，M为AC中点，根据平行四边形法则，有，同理有，故考点：向量的三角形法则和平行四边形法则10.已知，则的取值范围是（A）

(B)

（C）

（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是

.参考答案：略12.已知i为虚数单位，则=．参考答案：﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：∵===﹣1+2i，故答案为﹣1+2i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．13.已知i2=﹣1，且i?z=2+4i，则z=

．参考答案：4﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i?z=2+4i，得z=，故答案为：4﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.已知关于x的方程只有一个实数解，则实数的值为

▲

.参考答案：315.在△ABC中，=

．参考答案：1【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式，证出sinA=sinBcosC+cosBsinC，结合正弦定理证出a=bcosC+ccosB，即可得到所求式子的值．【解答】解：∵△ABC中，A+B+C=π，∴sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．根据正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，（R是△ABC外接圆半径），∵sinA=sinBcosC+cosBsinC，∴2RsinA=2RsinBcosC+2RcosBsinC，即a=bcosC+ccosB，由此可得=1．故答案为：116.在（1+2x）6（1+y）4展开式中，xy2项的系数为．参考答案：72【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】把题目中的式子利用二项式定理展开，即可得出xy2项的系数．【解答】解：∵（1+2x）6（1+y）4=（1+12x+60x2+160x3+…+64x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴xy2项的系数为12×6=72．故答案为：72．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．17.函数的图象和函数的图象的交点个数是

。

2参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）如图，已知点，点是⊙：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知⊙：（）的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证：对于任意一条切线总有.

参考答案：（I）由题意，，∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,∴曲线C的轨迹方程是.………………分

（II）先考虑切线的斜率存在的情形.设切线：，则

由与⊙O相切得

即

①……………7分由，消去得，,设，，则由韦达定理得，……9分

②……10分由于其中一条切线满足，对此结合①式可得…………12分于是，对于任意一条切线，总有，进而故总有.

…………14分最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有.综上所述，命题成立.

…………15分

19.如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE?面PBC，PC?面PBC，所以DE∥平面PBC．

…．（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．

…．（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．

…．20.（本小题共13分）已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若，分别是等比数列的第项和第项，求使数列的前n项和的最大正整数．参考答案：【知识点】公式法，分组求和等比数列等差数列【试题解析】（Ⅰ）设数列的公差为，

由已知可得，即，

整理得，解得

(舍去)或．

所以的通项公式为，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以等比数列的公比．

于是是以为首项，以为公比的等比数列．

所以．

由，得，即，

则满足不等式的最大正整数．21.（本小题满分分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．参考答案：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为．极坐标方程为